$xy$平面上の方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ が表す放物線の頂点の $x$ 座標を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上の方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ が表す放物線の頂点の $x$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $x$ について解く。

$y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$

$4x = y^2 + 6y + 1$

$x = \frac{1}{4}y^2 + \frac{3}{2}y + \frac{1}{4}$

次に、$x$ を $y$ について平方完成する。

$x = \frac{1}{4}(y^2 + 6y) + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y^2 + 6y + 9 - 9) + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}((y+3)^2 - 9) + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y+3)^2 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y+3)^2 - \frac{8}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y+3)^2 - 2$

この式は、放物線が $x = ay^2$ の形をしているので、頂点の座標は、$y = -3$のとき、$x = -2$となる。

したがって、頂点の$x$座標は $-2$ である。

3. 最終的な答え

-2