放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上の点A, Bと、y軸上の定点C(0, 4)で三角形ABCを作る。辺ABとy軸との交点をDとすると、Dの座標は(0, 1)であり、三角形ACDと三角形BCDの面積比は1:2である。 (1) 2点A, Bの座標を求めよ。 (2) 直線ABの方程式を求めよ。 (3) 点Dを通る直線$\ell$で三角形ABCを2つに分けるとき、その2つの図形の面積が等しくなるようにしたい。直線$\ell$とBCとの交点のx座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上の点A, Bと、y軸上の定点C(0, 4)で三角形ABCを作る。辺ABとy軸との交点をDとすると、Dの座標は(0, 1)であり、三角形ACDと三角形BCDの面積比は1:2である。

(1) 2点A, Bの座標を求めよ。

(2) 直線ABの方程式を求めよ。

(3) 点Dを通る直線$\ell$で三角形ABCを2つに分けるとき、その2つの図形の面積が等しくなるようにしたい。直線$\ell$とBCとの交点のx座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

点A, Bは放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上の点なので、A$(a, \frac{1}{3}a^2)$, B$(b, \frac{1}{3}b^2)$ とおく。

直線ABの式を $y = mx + n$ とおく。D(0, 1)を通るので、$n = 1$。よって、直線ABの式は $y = mx + 1$。

A, Bは直線AB上の点でもあるので、

$\frac{1}{3}a^2 = ma + 1$

$\frac{1}{3}b^2 = mb + 1$

これらは $\frac{1}{3}x^2 = mx + 1$ の2つの解がa, bである。

$\frac{1}{3}x^2 - mx - 1 = 0$

$x^2 - 3mx - 3 = 0$

解と係数の関係より、$a + b = 3m$, $ab = -3$

$\triangle{ACD}$ と $\triangle{BCD}$ の面積比が 1:2 であることから、線分CDを底辺としたとき、A, Bのx座標の絶対値の比が1:2になる。

つまり、$|a|: |b| = 1:2$

$|b| = 2|a|$

$b = \pm 2a$

(i) $b = 2a$ のとき、$a(2a) = -3$, $2a^2 = -3$ これは不適。

(ii) $b = -2a$ のとき、$a(-2a) = -3$, $-2a^2 = -3$, $a^2 = \frac{3}{2}$, $a = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Aはx座標が負なので、$a = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

$b = -2a = \sqrt{6}$

A$(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{4}) = (-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{2})$

B$(\sqrt{6}, \frac{1}{3} \cdot 6) = (\sqrt{6}, 2)$

(2) 直線ABの方程式を求める。

$a+b = 3m$ より、$3m = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$m = \frac{\sqrt{6}}{6}$

直線ABの式は $y = \frac{\sqrt{6}}{6}x + 1$

(3) 点Dを通る直線$\ell$が$\triangle{ABC}$の面積を二等分する。直線$\ell$とBCの交点をEとする。$\triangle{DBC} = \frac{2}{3}\triangle{ABC}$より、四角形ADCEと$\triangle{DBE}$の面積が等しい。$\triangle{DBE} = \frac{1}{2}\triangle{ABC}$.

$BC$の式は、$y = \frac{2-4}{\sqrt{6}-0}(x-0)+4 = -\frac{2}{\sqrt{6}}x + 4 = -\frac{\sqrt{6}}{3}x+4$

D(0,1)を通る直線$\ell$は$y = px+1$とおける。

直線$\ell$と直線$BC$の交点$E$の座標を求める。

$px+1 = -\frac{\sqrt{6}}{3}x+4$

$(p+\frac{\sqrt{6}}{3})x = 3$

$x = \frac{3}{p+\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{9}{3p+\sqrt{6}}$

$E(\frac{9}{3p+\sqrt{6}}, p(\frac{9}{3p+\sqrt{6}})+1)$

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times (4-1) \times (\sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{3}{2} \times \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{4}$

$\triangle DBE = \frac{1}{2} \times \frac{9\sqrt{6}}{4} = \frac{9\sqrt{6}}{8}$

$\triangle DBE = \frac{1}{2} \times (4-1) \times BE\times \sin \theta$ (BCとy軸がなす角を$\theta$とする)

3. 最終的な答え

(1) A$(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{2})$, B$(\sqrt{6}, 2)$

(2) $y = \frac{\sqrt{6}}{6}x + 1$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$