三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABを3:2に内分する点をEとする。 ベクトルOC, OD, OEをそれぞれベクトルOAとOBを用いて表し、次に線分CDをt:(1-t)に内分する点をPとし、ベクトルOPをベクトルOAとOBを用いて表す。最後に、3点O, P, Eが同一直線上にあるときのtの値を求め、ベクトルOPをベクトルOEを用いて表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABを3:2に内分する点をEとする。

ベクトルOC, OD, OEをそれぞれベクトルOAとOBを用いて表し、次に線分CDをt:(1-t)に内分する点をPとし、ベクトルOPをベクトルOAとOBを用いて表す。最後に、3点O, P, Eが同一直線上にあるときのtの値を求め、ベクトルOPをベクトルOEを用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点C, D, Eはそれぞれ辺OA, OB, ABを内分する点なので、

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA}$

$\vec{OD} = \frac{1}{4}\vec{OB}$

$\vec{OE} = \frac{3\vec{OB} + 2\vec{OA}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

次に、線分CDをt:(1-t)に内分する点Pについて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OC} + t\vec{OD}$

$= (1-t)\frac{2}{3}\vec{OA} + t\frac{1}{4}\vec{OB}$

$= \frac{2(1-t)}{3}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB}$

3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$\vec{OP} = k\vec{OE}$となる実数kが存在する。

よって、

$\frac{2(1-t)}{3}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB} = k(\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB})$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$\frac{2(1-t)}{3} = \frac{2k}{5}$ かつ $\frac{t}{4} = \frac{3k}{5}$

これを解くと、

$k = \frac{5(1-t)}{3}$ かつ $k = \frac{5t}{12}$

$\frac{5(1-t)}{3} = \frac{5t}{12}$

$4(1-t) = t$

$4 - 4t = t$

$5t = 4$

$t = \frac{4}{5}$

このとき、$k = \frac{5}{12} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{3}$

したがって、$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{OE}$

3. 最終的な答え

OC = (2/3)OA, OD = (1/4)OB

OE = (2/5)OA + (3/5)OB

OP = (2/3)(1-t)OA + (t/4)OB

t = 4/5

OP = (1/3)OE