三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABを3:2に内分する点をEとする。 $\vec{OC} = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}}\vec{OA}$, $\vec{OD} = \frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\vec{OB}$ $\vec{OE} = \frac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}\vec{OA} + \frac{\boxed{キ}}{\boxed{カ}}\vec{OB}$ (1) $t$を$0<t<1$を満たす実数とし、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。 $\vec{OP} = \frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}(\boxed{コ} - t)\vec{OA} + \frac{\boxed{サ}}{\boxed{シ}}t\vec{OB}$ 3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$t=\frac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}$であり、$\vec{OP} = \frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}\vec{OE}$が成り立つ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABを3:2に内分する点をEとする。

$\vec{OC} = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}}\vec{OA}$, $\vec{OD} = \frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\vec{OB}$

$\vec{OE} = \frac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}\vec{OA} + \frac{\boxed{キ}}{\boxed{カ}}\vec{OB}$

(1) $t$を$0<t<1$を満たす実数とし、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。

$\vec{OP} = \frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}(\boxed{コ} - t)\vec{OA} + \frac{\boxed{サ}}{\boxed{シ}}t\vec{OB}$

3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$t=\frac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}$であり、$\vec{OP} = \frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}\vec{OE}$が成り立つ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$ を $\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表します。

点CはOAを2:1に内分するので、$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA}$。よって、ア=2, イ=3。

点DはOBを1:3に内分するので、$\vec{OD} = \frac{1}{4}\vec{OB}$。よって、ウ=1, エ=4。

点EはABを3:2に内分するので、$\vec{OE} = \frac{2\vec{OA} + 3\vec{OB}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$。よって、オ=2, キ=3, カ=5。

次に、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$を求めます。

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OC} + t\vec{OD} = (1-t)(\frac{2}{3}\vec{OA}) + t(\frac{1}{4}\vec{OB}) = \frac{2(1-t)}{3}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3}(1-t)\vec{OA} + \frac{1}{4}t\vec{OB} = \frac{2}{3}(1-t)\vec{OA} + \frac{1}{4}t\vec{OB}$。

よって、ク=2, ケ=3, コ=1, サ=1, シ=4。

O, P, Eが同一直線上にあるので、$\vec{OP} = k\vec{OE}$となる実数$k$が存在する。

$\frac{2}{3}(1-t)\vec{OA} + \frac{1}{4}t\vec{OB} = k(\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB})$

$\frac{2}{3}(1-t) = \frac{2}{5}k$かつ$\frac{1}{4}t = \frac{3}{5}k$。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3}t = \frac{2}{5}k$, $\frac{1}{4}t = \frac{3}{5}k$。

$k = \frac{5}{3}(1-t)$, $k = \frac{5}{12}t$。

$\frac{5}{3}(1-t) = \frac{5}{12}t$。

$1-t = \frac{1}{4}t$。

$1 = \frac{5}{4}t$。

$t = \frac{4}{5}$。よって、ス=4, セ=5。

$k = \frac{5}{12}t = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{3}$。

$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{OE}$。

よって、ソ=1, タ=3。

3. 最終的な答え

ア=2, イ=3, ウ=1, エ=4, オ=2, キ=3, カ=5

ク=2, ケ=3, コ=1, サ=1, シ=4

ス=4, セ=5

ソ=1, タ=3