平行四辺形 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $D$、辺 $OC$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とする。線分 $DE$ を $1:3$ に内分する点を $P$、直線 $OP$ と直線 $AB$ の交点を $F$ とする。 (1) $\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OC}=\vec{c}$ とするとき、$\vec{OF}$ を $\vec{a}$、$\vec{c}$ を用いて表せ。 (2) 四角形 $OAFE$ の面積は平行四辺形 $OABC$ の面積の何倍であるか。

1. 問題の内容

平行四辺形 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $D$、辺 $OC$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とする。線分 $DE$ を $1:3$ に内分する点を $P$、直線 $OP$ と直線 $AB$ の交点を $F$ とする。

(1) $\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OC}=\vec{c}$ とするとき、$\vec{OF}$ を $\vec{a}$、$\vec{c}$ を用いて表せ。

(2) 四角形 $OAFE$ の面積は平行四辺形 $OABC$ の面積の何倍であるか。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\vec{OD}$、$\vec{OE}$、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{c}$ で表す。

$D$ は $OA$ の中点なので、$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$ である。

$E$ は $OC$ を $2:1$ に内分する点なので、$\vec{OE} = \frac{2}{3}\vec{c}$ である。

$P$ は $DE$ を $1:3$ に内分する点なので、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OD} + \vec{OE}}{3+1} = \frac{3(\frac{1}{2}\vec{a}) + \frac{2}{3}\vec{c}}{4} = \frac{\frac{3}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}}{4} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{c}$

次に、$\vec{OF}$ を $\vec{OP}$ の定数倍で表す。

$\vec{OF} = k\vec{OP} = k(\frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{c}) = \frac{3k}{8}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{c}$

また、$F$ は直線 $AB$ 上の点なので、$\vec{OF}$ は $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ の線形結合で表すことができる。

$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{AF} = s\vec{AB} = s(\vec{c})$とおくと

$\vec{OF} = \vec{OA} + \vec{AF} = \vec{a} + s\vec{c}$ と表せる。

したがって、$\vec{OF} = \frac{3k}{8}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{c} = \vec{a} + s\vec{c}$

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、

$\frac{3k}{8} = 1$ かつ $\frac{k}{6} = s$

$\frac{3k}{8} = 1$ より $k = \frac{8}{3}$

$s = \frac{k}{6} = \frac{8/3}{6} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$\vec{OF} = \frac{3k}{8}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{c} = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}\vec{a} + \frac{1}{6} \cdot \frac{8}{3}\vec{c} = \vec{a} + \frac{4}{9}\vec{c}$

(2) 四角形 $OAFE$ の面積は、三角形 $OAF$ の面積と三角形 $OAE$ の面積の和である。

平行四辺形 $OABC$ の面積を $S$ とする。

三角形 $OAF$ の面積は $\frac{OF}{OB}$ 倍である。

$\vec{OF} = \vec{OA} + \frac{4}{9}\vec{OC}$ より $OA \times OC \times \frac{4}{9} / OB$ なので、$\frac{4}{9}S$ ではない.

平行四辺形の面積は $S = |\vec{a} \times \vec{c}|$

三角形 $OAF$ の面積は $\frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OF}| = \frac{1}{2}|\vec{a} \times (\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{c})| = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \frac{4}{9}\vec{c}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} |\vec{a} \times \vec{c}| = \frac{2}{9}S$

三角形 $OAE$ の面積は $\frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OE}| = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \frac{2}{3}\vec{c}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} |\vec{a} \times \vec{c}| = \frac{1}{3}S$

四角形 $OAFE$ の面積は $\frac{2}{9}S + \frac{1}{3}S = \frac{2}{9}S + \frac{3}{9}S = \frac{5}{9}S$

したがって、四角形 $OAFE$ の面積は平行四辺形 $OABC$ の面積の $\frac{5}{9}$ 倍である。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OF} = \vec{a} + \frac{4}{9}\vec{c}$

(2) $\frac{5}{9}$ 倍