台形ABCDにおいて、点PはMを出発し、MB上、BC上を毎秒1cmで動き、点QはDを出発し、DC上、CB上を毎秒1cmで動く。点PがMを出発してx秒後の三角形DPQの面積をy cm²とする。このとき、 (1) 点Pが出発してから3秒後の三角形DPQの面積を求める。 (2) $4 \le x \le 7$のときのyをxの式で表す。 (3) 点P, QがBC上で重なった後、BC上をさらに進み、同時に停止するまでについて、 (1) 2点P, Qが重なってから停止するまでのxとyの関係を表すグラフを描く。 (2) 三角形DPQの面積が3回目に9 cm²になるのは、点Pが出発してから何秒後か求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、点PはMを出発し、MB上、BC上を毎秒1cmで動き、点QはDを出発し、DC上、CB上を毎秒1cmで動く。点PがMを出発してx秒後の三角形DPQの面積をy cm²とする。このとき、

(1) 点Pが出発してから3秒後の三角形DPQの面積を求める。

(2) $4 \le x \le 7$のときのyをxの式で表す。

(3) 点P, QがBC上で重なった後、BC上をさらに進み、同時に停止するまでについて、

(1) 2点P, Qが重なってから停止するまでのxとyの関係を表すグラフを描く。

(2) 三角形DPQの面積が3回目に9 cm²になるのは、点Pが出発してから何秒後か求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが出発してから3秒後について考える。

点PはMを出発し、毎秒1cmで動くので、3秒後にはMから3cm進んだところにいる。

したがって、MP = 3cm。よって、PB = AB - MP - AM = 8 - 3 - 4 = 1cm。

点QはDを出発し、毎秒1cmで動く。まずDC上を動く。点QがDC上にいるとき、$x \le 4$。3秒後には、点QはDから3cm進んだところにいるので、DQ = 3cm。

三角形DPQの面積は、$y = \frac{1}{2} \times DP \times DQ \times sin(\angle PDQ)$。

ここで、DPの長さは、$DP = \sqrt{AM^2 + AP^2} = \sqrt{4^2 + (8-3)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$。

$y = \frac{1}{2} \times DP \times 高さ$ であり、$y = \frac{1}{2} |AD \times DQ| = \frac{1}{2} |AP \times DP + DP \times DQ + AQ \times AP| = 1/2 |4 \times 3| =6$

点PがMB上にあるとき($0 \le x \le 4$)、Pの座標は(4, 8-x)

点QがDC上にあるとき($0 \le x \le 4$)、Qの座標は(4+x, 4)

よってDP = $\sqrt{(8-x)^2 + (4)^2}$.

DQ = x.

y=三角形DPQ = 1/2 |(4(8-x) + x(8-(4+x))+(4+x)(4-8+x)| = 1/2|32-4x+8x-4x-x^2+16-16-4x+4x+x^2) | = |8-4x|

$0 \le x \le 4$で、x = 3ならばy =

6.

(2)

$4 \le x \le 7$のとき、点PはBC上を動いており、点QもBC上を動いている。

点PはMからBCまで4+6=10cm進む。

点QはDからCBまで4+6=10cm進む。

したがって、点Pは$4 \le x \le 10$のときBC上にいる。

点Qは$4 \le x \le 10$のときBC上にいる。

点PがMからx秒進んだとき、BC上のPの位置はx-4。

点QがDからx秒進んだとき、BC上のQの位置は10-x。

よってPQ = |(x-4) - (10-x)| = |2x-14|。

DP = 4, DQ =

4. y= 1/2 |4 * 4| sin90 =8

よって、点P、QがBC上にあるときの三角形DPQの面積は y = 8

y = 4x - 8.5 +16

$DP = \sqrt{6^2 + 4^2}, DQ=\sqrt{6^2 + 4^2}$. y = $\frac{AD}{AD}$ PQ sin 90

(3)

① 略。

②

3. 最終的な答え

(1) 6 cm²

(2) y = -2x + 24

(3)

① グラフ略

② 7秒後