直方体 ABCD-EFGH において、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{e}$とする。 (1) $\overrightarrow{BH}$ を $\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$ で表せ。 (2) 線分 BH を 1:2 の比に内分する点を P とするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$ で表せ。

1. 問題の内容

直方体 ABCD-EFGH において、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{e}$とする。

(1) $\overrightarrow{BH}$ を $\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$ で表せ。

(2) 線分 BH を 1:2 の比に内分する点を P とするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{BH}$ を $\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$ で表す。

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH}$

$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = \vec{e}$

$\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD} = \vec{d}$

よって、

$\overrightarrow{BH} = -\vec{b} + \vec{e} + \vec{d} = \vec{d} - \vec{b} + \vec{e}$

(2) 線分 BH を 1:2 の比に内分する点を P とするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$ で表す。

$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BH}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{AP} = \vec{b} + \frac{1}{3} (\vec{d} - \vec{b} + \vec{e})$

$\overrightarrow{AP} = \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{d} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{e}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{d} + \frac{1}{3} \vec{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{BH} = \vec{d} - \vec{b} + \vec{e}$

(2) $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{d} + \frac{1}{3} \vec{e}$