座標空間内の2点 $A(-1, 2, 0)$ と $B(2, p, q)$ が与えられている（ただし、$q > 0$）。線分 $AB$ の中点 $C$ から直線 $OA$ に下ろした垂線と直線 $OA$ の交点を $D$ とすると、$D$ は線分 $OA$ を $9:1$ に内分する。また、点 $C$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $E$ とすると、$E$ は線分 $OB$ を $3:2$ に内分する。このとき、$B$ の座標を求める。途中経過として、$|OA|^2$、$\vec{OD}$、$\vec{CD}$、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の値が求められている。また、$|\vec{OB}|^2 = 20$ という条件も与えられている。

1. 問題の内容

座標空間内の2点 $A(-1, 2, 0)$ と $B(2, p, q)$ が与えられている（ただし、$q > 0$）。線分 $AB$ の中点 $C$ から直線 $OA$ に下ろした垂線と直線 $OA$ の交点を $D$ とすると、$D$ は線分 $OA$ を $9:1$ に内分する。また、点 $C$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $E$ とすると、$E$ は線分 $OB$ を $3:2$ に内分する。このとき、$B$ の座標を求める。途中経過として、$|OA|^2$、$\vec{OD}$、$\vec{CD}$、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の値が求められている。また、$|\vec{OB}|^2 = 20$ という条件も与えられている。

2. 解き方の手順

(1) $|OA|^2$ を求める。

$|OA|^2 = (-1)^2 + 2^2 + 0^2 = 1 + 4 = 5$

よって、$|OA|^2 = 5$

(2) $\vec{OD}$ を $\vec{OA}$ で表す。

$D$ は $OA$ を $9:1$ に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{9}{10} \vec{OA}$

(3) $\vec{CD}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。

$\vec{OC} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \frac{9}{10} \vec{OA} - \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{9}{10} \vec{OA} - \frac{5}{10} \vec{OA} - \frac{5}{10} \vec{OB} = \frac{4}{10} \vec{OA} - \frac{5}{10} \vec{OB} = \frac{2}{5} \vec{OA} - \frac{1}{2} \vec{OB}$

よって、$\vec{CD} = \frac{2}{5} \vec{OA} - \frac{1}{2} \vec{OB}$

(4) $\vec{OA} \perp \vec{CD}$ より、$\vec{OA} \cdot \vec{CD} = 0$

$\vec{OA} \cdot \left( \frac{2}{5} \vec{OA} - \frac{1}{2} \vec{OB} \right) = 0$

$\frac{2}{5} |\vec{OA}|^2 - \frac{1}{2} \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

$\frac{2}{5} \cdot 5 - \frac{1}{2} \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

$2 = \frac{1}{2} \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 4$

(5) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を計算する。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (-1)(2) + (2)(p) + (0)(q) = -2 + 2p$

よって、$-2 + 2p = 4$

$2p = 6$

$p = 3$

(6) $|\vec{OB}|^2 = 20$ を用いる。

$|\vec{OB}|^2 = 2^2 + p^2 + q^2 = 4 + 3^2 + q^2 = 4 + 9 + q^2 = 13 + q^2$

$13 + q^2 = 20$

$q^2 = 7$

$q = \pm \sqrt{7}$

$q > 0$ より、$q = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$B = (2, 3, \sqrt{7})$