正四面体の頂点O, A, B, Cに水素原子が位置し、炭素原子Gが線分OHを3:1に内分する点にある。ここで、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$としたとき、$\vec{OH}$, $\vec{OG}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表し、$cos\theta$の値を求め、$|\vec{OA}|$を計算する問題。

1. 問題の内容

正四面体の頂点O, A, B, Cに水素原子が位置し、炭素原子Gが線分OHを3:1に内分する点にある。ここで、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$としたとき、$\vec{OH}$, $\vec{OG}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表し、$cos\theta$の値を求め、$|\vec{OA}|$を計算する問題。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OH}$は三角形ABCの重心Hの位置ベクトルなので、

$\vec{OH} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

また、点Gは線分OHを3:1に内分するので、

$\vec{OG} = \frac{1\cdot \vec{0} + 3 \cdot \vec{OH}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{OH} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

(2) $\vec{GA} = \vec{r_1}$, $\vec{GB} = \vec{r_2}$, $\vec{GC} = \vec{r_3}$, $\vec{GO} = \vec{r_4}$とすると、$\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3} + \vec{r_4} = \vec{0}$。

$\vec{r_1} \cdot (\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3} + \vec{r_4}) = \vec{r_1} \cdot \vec{0} = 0$より、$\vec{r_1} \cdot \vec{r_1} + \vec{r_1} \cdot \vec{r_2} + \vec{r_1} \cdot \vec{r_3} + \vec{r_1} \cdot \vec{r_4} = 0$

ここで、$\vec{r_1} \cdot \vec{r_1} = |\vec{r_1}|^2 = r^2$

$\vec{r_1} \cdot \vec{r_2} = \vec{r_1} \cdot \vec{r_3} = \vec{r_1} \cdot \vec{r_4} = |\vec{r_1}||\vec{r_2}|cos\theta = r^2 cos\theta$

したがって、$r^2 + 3r^2cos\theta = 0$

$cos\theta = -\frac{1}{3}$

(3) $\vec{OA} = \vec{OG} + \vec{GA}$なので、$|\vec{OA}|^2 = |\vec{OG} + \vec{GA}|^2$

$|\vec{OA}|^2 = |\vec{OG}|^2 + 2\vec{OG} \cdot \vec{GA} + |\vec{GA}|^2 = |\vec{OG}|^2 + 2\vec{OG} \cdot (-\vec{r_1}) + r^2$

$\vec{OG} = \vec{OA} - \vec{OG} = \vec{a} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} = \frac{3\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{4}$

よって、$|\vec{OG}|^2 = r^2$

$|\vec{OA}|^2 = r^2$, $|\vec{OG}|^2 = (\frac{\sqrt{3}}{4}r)^2 = (\frac{3}{16})r^2$

$\vec{OG} \cdot \vec{GA} = |\vec{OG}| |\vec{GA}| cos\theta = (\frac{\sqrt{3}}{4} r) (r) (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{4}$

$\vec{OA} = r$なので、$|\vec{OA}|^2 = r^2$

$|\vec{OG}|^2 = r^2$

$2r\vec{r_1} = r \cdot r \cdot (-\frac{1}{3}) = -r$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OH} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$, $\vec{OG} = \frac{3}{4} \vec{OH}$

$\vec{OG} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

(2) $\vec{r_1} \cdot (\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3} + \vec{r_4}) = 0$, $\vec{r_1} \cdot \vec{r_1} = r$, $\vec{r_1} \cdot \vec{r_2} = r cos\theta$

$cos\theta = -\frac{1}{3}$

(3) $|\vec{OA}| = r$

$|\vec{OA}|^2 = r^2 = r^2 + r^2 - 2r \cdot r (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}r^2 + r^2 = \frac{5}{3} r^2 = \frac{2r^2}{3}$

$\frac{8}{9}r^2$