複素数平面上に点 $A = -2i$, $B = 1-i$, $C = -1+3i$, $D = 1+i$ が与えられている。点 $D$ を中心とする半径1の円 $K$ 上に点 $P(z)$ があり、点 $Q(w)$ は $\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ が相似になるように定められている。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $w$ を $z$ の式で表せ。 (2) 点 $P$ が円 $K$ の周上を動くとき、点 $Q$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上に点 $A = -2i$, $B = 1-i$, $C = -1+3i$, $D = 1+i$ が与えられている。点 $D$ を中心とする半径1の円 $K$ 上に点 $P(z)$ があり、点 $Q(w)$ は $\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ が相似になるように定められている。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $w$ を $z$ の式で表せ。

(2) 点 $P$ が円 $K$ の周上を動くとき、点 $Q$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ が相似である条件から、$\frac{w-(-2i)}{z-(-2i)} = \frac{(-1+3i)-(−2i)}{(1-i)-(-2i)} = \frac{-1+5i}{1+i}$ が成り立つ。

よって、

$\frac{w+2i}{z+2i} = \frac{-1+5i}{1+i} = \frac{(-1+5i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-1+i+5i-5i^2}{1-i^2} = \frac{4+6i}{2} = 2+3i$

したがって、

$w+2i = (2+3i)(z+2i) = (2+3i)z + (2+3i)(2i) = (2+3i)z + 4i - 6 = (2+3i)z - 6 + 4i$

$w = (2+3i)z - 6 + 4i - 2i = (2+3i)z - 6 + 2i$

(2) 点 $P$ は円 $K$ の周上を動くので、$|z-(1+i)| = 1$ を満たす。

$w = (2+3i)z - 6 + 2i$ より、$(2+3i)z = w+6-2i$

$z = \frac{w+6-2i}{2+3i}$

これを $|z-(1+i)| = 1$ に代入すると、

$|\frac{w+6-2i}{2+3i} - (1+i)| = 1$

$|\frac{w+6-2i-(1+i)(2+3i)}{2+3i}| = 1$

$|\frac{w+6-2i - (2+3i+2i-3)}{2+3i}| = 1$

$|\frac{w+6-2i - (-1+5i)}{2+3i}| = 1$

$|\frac{w+7-7i}{2+3i}| = 1$

$|w+7-7i| = |2+3i| = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

したがって、点 $Q$ の軌跡は中心が $-7+7i$ で半径が $\sqrt{13}$ の円である。

3. 最終的な答え

(1) $w = (2+3i)z - 6 + 2i$

(2) 中心 $-7+7i$, 半径 $\sqrt{13}$ の円