複素数平面上に3点 A(-2i), B(1-i), C(-1+3i) と, 点 D(1+i) を中心とする半径1の円 K がある。点 P(z) は K の周上にあり, 点 Q(w) は, $\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ が同じ向きに相似になる点とする。このとき、以下の問いに答える。 (1) $w$ を $z$ の式で表せ。 (2) 点 P が円 K の周上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点 A(-2i), B(1-i), C(-1+3i) と, 点 D(1+i) を中心とする半径1の円 K がある。点 P(z) は K の周上にあり, 点 Q(w) は, $\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ が同じ向きに相似になる点とする。このとき、以下の問いに答える。

(1) $w$ を $z$ の式で表せ。

(2) 点 P が円 K の周上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ が相似であることから、複素数平面上で相似比と回転角を考える。

$\frac{AQ}{AP} = \frac{AC}{AB}$ であり、PからQへの回転角とBからCへの回転角が等しいことから、

$\frac{w - a}{z - a} = \frac{c - a}{b - a}$

ここで、$a = -2i, b = 1 - i, c = -1 + 3i$ である。

これらを代入して、$w$ を $z$ の式で表す。

$\frac{w + 2i}{z + 2i} = \frac{-1 + 3i + 2i}{1 - i + 2i} = \frac{-1 + 5i}{1 + i}$

$\frac{-1+5i}{1+i} = \frac{(-1+5i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-1+i+5i-5i^2}{1-i^2} = \frac{-1+6i+5}{1+1} = \frac{4+6i}{2} = 2+3i$

$w + 2i = (2 + 3i)(z + 2i)$

$w = (2 + 3i)z + (2 + 3i)2i - 2i = (2 + 3i)z + 4i - 6 - 2i = (2 + 3i)z - 6 + 2i$

(2) 点 P は円 K の周上を動くので、 $|z - (1+i)| = 1$ を満たす。

$z = \frac{w + 6 - 2i}{2 + 3i}$ を代入する。

$| \frac{w + 6 - 2i}{2 + 3i} - (1+i) | = 1$

$| w + 6 - 2i - (2+3i)(1+i) | = |2+3i|$

$| w + 6 - 2i - (2+2i+3i-3) | = \sqrt{2^2 + 3^2}$

$| w + 6 - 2i - (-1+5i) | = \sqrt{13}$

$| w + 7 - 7i | = \sqrt{13}$

よって、点 Q の軌跡は、中心 $-7+7i$、半径 $\sqrt{13}$ の円である。

3. 最終的な答え

(1) $w = (2 + 3i)z - 6 + 2i$

(2) 中心 $-7+7i$、半径 $\sqrt{13}$ の円