問題は、正四面体の頂点に酸素原子が位置し、その内部にある水素原子の位置ベクトルを求める問題です。具体的には、ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ としたときに、$\vec{OH}$, $\vec{OG}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表すことと、ベクトルに関する等式を証明することが求められています。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、正四面体の頂点に酸素原子が位置し、その内部にある水素原子の位置ベクトルを求める問題です。具体的には、ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ としたときに、$\vec{OH}$, $\vec{OG}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表すことと、ベクトルに関する等式を証明することが求められています。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表す:

$\vec{OH} = \frac{3}{7} \vec{OA} + \frac{2}{7} \vec{OB} + \frac{2}{7} \vec{OC}$ であることから、

$\vec{OH} = \frac{3}{7} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b} + \frac{2}{7} \vec{c}$.

(2) $\vec{OG}$ を $\vec{OH}$ を用いて表す:

$\vec{OG} = \frac{1}{3} \vec{OH}$ である。

$\vec{OH}$ の結果を代入すると、

$\vec{OG} = \frac{1}{3} (\frac{3}{7} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b} + \frac{2}{7} \vec{c}) = \frac{1}{7} \vec{a} + \frac{2}{21} \vec{b} + \frac{2}{21} \vec{c}$

$\vec{OG} = \frac{1}{21} (3\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c})$.

(3) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{G0} = \vec{0}$ を示す:

左辺 = $(\vec{OA} - \vec{OG}) + (\vec{OB} - \vec{OG}) + (\vec{OC} - \vec{OG}) + (\vec{0} - \vec{OG})$

= $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} - 4\vec{OG}$

ここで、$r_1 \vec{r_1} + r_2 \vec{r_2} + r_3 \vec{r_3}$ を考えると

$r_1 = - \frac{4}{21} (3) = \frac{4}{7}$

$r_2 = - \frac{4}{21} (2) = \frac{8}{21}$

$r_3 = - \frac{4}{21} (2) = \frac{8}{21}$

式変形を行う.

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GO} = (\vec{OA} - \vec{OG}) + (\vec{OB} - \vec{OG}) + (\vec{OC} - \vec{OG}) + (\vec{0} - \vec{OG})$

= $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} - 4\vec{OG}$

= $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - \frac{4}{21}(3\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c})$

= $(1 - \frac{12}{21})\vec{a} + (1 - \frac{8}{21})\vec{b} + (1 - \frac{8}{21})\vec{c}$

= $\frac{9}{21}\vec{a} + \frac{13}{21}\vec{b} + \frac{13}{21}\vec{c} \neq \vec{0}$

問題文に、$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GO} = \vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3} - \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - \frac{\boxed{}}{21}\vec{OG} = \vec{0}$となる、とある。

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GO} = \vec{0}$と示す代わりに、$\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3} = \vec{0}$を示すことが想定されている？

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OH} = \frac{3}{7} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b} + \frac{2}{7} \vec{c}$

(2) $\vec{OG} = \frac{1}{7} \vec{a} + \frac{2}{21} \vec{b} + \frac{2}{21} \vec{c} = \frac{1}{21} (3\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c})$

(3) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GO} = \vec{0}$というより、$\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3} - \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - \frac{\boxed{}}{21}\vec{OG} = \vec{0}$となる。

$\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{8}{21}\vec{b} + \frac{8}{21}\vec{c}$

これは $\frac{12}{21}\vec{a} + \frac{8}{21}\vec{b} + \frac{8}{21}\vec{c}$。よって、$\frac{28}{21}\vec{OG}$

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GO} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} -4 \vec{OG} = \frac{9}{21} \vec{a} + \frac{13}{21} \vec{b} + \frac{13}{21} \vec{c}$

もし $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} -4 \vec{OG} = \vec{0}$ が正しいなら

$\vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$となる。

$\frac{4}{21}$ ではなく、$4$