座標空間に点 $O(0,0,0)$, $A(3, 3, -6)$, $B(2+2\sqrt{3}, 2-2\sqrt{3}, -4)$ があり、3点 $O$, $A$, $B$ の定める平面を $\alpha$ とします。平面 $\alpha$ 上にある点 $C$ は $OA \perp OC$ かつ $OB \cdot OC = 24$ を満たします。 (1) $|OA|$ と $|OB|$ と $OA \cdot OB$ を求めます。 (2) 点 $C$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、実数 $s$, $t$ を用いて $\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ と表せます。このとき $s$, $t$ を求め、$|OC|$ を求めます。 (3) $\overrightarrow{CB}$ を求めます。四角形 $OABC$ の形状を答え、その面積を求めます。 (4) $OA \perp OD$, $OC \cdot OD = 2\sqrt{6}$ かつ $z$ 座標が 1 であるような点 $D$ の座標を求め、$\angle COD$ を求めます。3点 $O$, $C$, $D$ の定める平面を $\beta$ とするとき、$\alpha$ と $\beta$ は垂直なので、三角形 $ABC$ を底面とする四面体 $DABC$ の高さを求め、その体積を求めます。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

座標空間に点 $O(0,0,0)$, $A(3, 3, -6)$, $B(2+2\sqrt{3}, 2-2\sqrt{3}, -4)$ があり、3点 $O$, $A$, $B$ の定める平面を $\alpha$ とします。平面 $\alpha$ 上にある点 $C$ は $OA \perp OC$ かつ $OB \cdot OC = 24$ を満たします。

(1) $|OA|$ と $|OB|$ と $OA \cdot OB$ を求めます。

(2) 点 $C$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、実数 $s$, $t$ を用いて $\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ と表せます。このとき $s$, $t$ を求め、$|OC|$ を求めます。

(3) $\overrightarrow{CB}$ を求めます。四角形 $OABC$ の形状を答え、その面積を求めます。

(4) $OA \perp OD$, $OC \cdot OD = 2\sqrt{6}$ かつ $z$ 座標が 1 であるような点 $D$ の座標を求め、$\angle COD$ を求めます。3点 $O$, $C$, $D$ の定める平面を $\beta$ とするとき、$\alpha$ と $\beta$ は垂直なので、三角形 $ABC$ を底面とする四面体 $DABC$ の高さを求め、その体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$|OA| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

$|OB| = \sqrt{(2+2\sqrt{3})^2 + (2-2\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 8\sqrt{3} + 12 + 4 - 8\sqrt{3} + 12 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$OA \cdot OB = 3(2+2\sqrt{3}) + 3(2-2\sqrt{3}) + (-6)(-4) = 6 + 6\sqrt{3} + 6 - 6\sqrt{3} + 24 = 36$

(2)

$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ より $C(3s + (2+2\sqrt{3})t, 3s + (2-2\sqrt{3})t, -6s - 4t)$

$OA \perp OC$ より $OA \cdot OC = 0$

$3(3s + (2+2\sqrt{3})t) + 3(3s + (2-2\sqrt{3})t) - 6(-6s - 4t) = 0$

$9s + (6+6\sqrt{3})t + 9s + (6-6\sqrt{3})t + 36s + 24t = 0$

$54s + 36t = 0$

$3s + 2t = 0$

$s = -\frac{2}{3}t$

$OB \cdot OC = 24$

$(2+2\sqrt{3})(3s + (2+2\sqrt{3})t) + (2-2\sqrt{3})(3s + (2-2\sqrt{3})t) - 4(-6s - 4t) = 24$

$(6+6\sqrt{3})s + (4 + 8\sqrt{3} + 12)t + (6-6\sqrt{3})s + (4 - 8\sqrt{3} + 12)t + 24s + 16t = 24$

$(6+6\sqrt{3} + 6-6\sqrt{3} + 24)s + (16+16+16)t = 24$

$36s + 48t = 24$

$3s + 4t = 2$

$3(-\frac{2}{3}t) + 4t = 2$

$-2t + 4t = 2$

$2t = 2$

$t = 1$

$s = -\frac{2}{3}$

$\overrightarrow{OC} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$

$C(-\frac{2}{3}(3) + 2+2\sqrt{3}, -\frac{2}{3}(3) + 2-2\sqrt{3}, -\frac{2}{3}(-6) - 4) = C(-2+2+2\sqrt{3}, -2+2-2\sqrt{3}, 4-4) = C(2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}, 0)$

$|OC| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{12 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $|OA| = 3\sqrt{6}$, $|OB| = 4\sqrt{3}$, $OA \cdot OB = 36$

(2) $s = -\frac{2}{3}$, $t = 1$, $|OC| = 2\sqrt{6}$