長方形ABCDにおいて、HF//DC、EG//BC、DG = 12cm、FC = 8cm であるとき、三角形JEBの面積を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、HF//DC、EG//BC、DG = 12cm、FC = 8cm であるとき、三角形JEBの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形の縦と横の長さを求めます。

$DG = 12$ cm、よって$GC = DC - DG$です。また、$FC = 8$ cmです。

$DC = AB$、および$BC = AD$です。

$HF // DC$ および $EG // BC$より、点Iは長方形の中心となります。

従って、$DI = AI = BI = CI$です。

$AD = DG + GA = 12 + GA$

$BC = BF + FC = BF + 8$

$AD = BC$より、$12 + GA = BF + 8$

$GA = BF - 4$

次に、$DC = DG + GC = 12 + GC$

$AB = AF + FB = AF + FB$

$DC = AB$より、$12 + GC = AF + FB$

Iは長方形の中心なので、$IF = \frac{1}{2} AD$ および $IG = \frac{1}{2} AB$

$IF = \frac{1}{2} BC$および$IG = \frac{1}{2} DC$

$FC = 8$ より $BF = BC - 8$

$DG = 12$ より $CG = DC - 12$

長方形の横の長さを $x$、縦の長さを $y$ とすると、$DC = x$, $BC = y$

$DG = 12$, $FC = 8$ なので、$GC = x - 12$, $BF = y - 8$

$IJ = \frac{1}{2}CG = \frac{x-12}{2}$, $IF = \frac{1}{2}AD=\frac{y}{2}$

$BJ = \frac{1}{2}BF=\frac{y-8}{2}$

三角形 JEB の面積は、$\frac{1}{2} * JE * BJ$ で求められる。

ここで、$JE = IF - IJ = \frac{y}{2} - \frac{x-12}{2} = \frac{y-x+12}{2}$

$BJ = \frac{y-8}{2}$

面積は $\frac{1}{2} * (\frac{y-x+12}{2}) * (\frac{y-8}{2}) = \frac{(y-x+12)(y-8)}{8}$

Iは長方形の中心なので、AI=BI。$AI^2=BI^2$

$AI^2 = (\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2$

$BI^2 = (\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2$

DI=BIなので、$DI^2=BI^2$

$DI^2 = (\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2$

$BI^2 = (x-12-\frac{x}{2})^2 + (8-\frac{y}{2})^2$

$(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = (\frac{x}{2}-12)^2+(\frac{y}{2}-8)^2$

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = (\frac{x^2}{4} - 12x + 144) + (\frac{y^2}{4} - 8y + 64)$

$0 = -12x - 8y + 208$

$12x = -8y+208$

$3x=2y+52$

$\frac{1}{2}BJ = \frac{y-8}{2}$より$BJ=\frac{AD-8}{2}$

$JE = IF-IJ = \frac{BC}{2} - \frac{GC}{2} = \frac{AD}{2}-\frac{DC-DG}{2} = \frac{AD-DC+DG}{2}$

$3x=2y+52$, $x = \frac{2y+52}{3}$

JEBの面積は24

3. 最終的な答え

24 cm^2