直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ と直線 $y = ax + 6$ の交点を A とし、直線 $y = ax + 6$ 上に点 B をとる。点 A の座標は (2, 5) であり、点 B の $x$ 座標は 8 である。このとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 点 B の $y$ 座標を求める。 (3) 直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ と $y$ 軸との交点を C、直線 OA と直線 BC との交点を D とする。 (1) 点 D の座標を求める。 (2) 三角形 ADB の面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ と直線 $y = ax + 6$ の交点を A とし、直線 $y = ax + 6$ 上に点 B をとる。点 A の座標は (2, 5) であり、点 B の $x$ 座標は 8 である。このとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 点 B の $y$ 座標を求める。

(3) 直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ と $y$ 軸との交点を C、直線 OA と直線 BC との交点を D とする。

(1) 点 D の座標を求める。

(2) 三角形 ADB の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 A (2, 5) は直線 $y = ax + 6$ 上にあるので、この座標を代入すると、

$5 = 2a + 6$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

(2) 点 B の $x$ 座標は 8 であり、直線 $y = ax + 6$ 上にある。$a = -\frac{1}{2}$ なので、

$y = -\frac{1}{2}(8) + 6$

$y = -4 + 6$

$y = 2$

よって、点 B の $y$ 座標は 2 である。

(3)

(1) まず点 C の座標を求める。直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ と $y$ 軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると $y = 2$。よって、点 C の座標は (0, 2) である。

次に直線 OA の式を求める。点 A の座標は (2, 5) で、原点 O (0, 0) を通るので、直線の傾きは $\frac{5 - 0}{2 - 0} = \frac{5}{2}$。よって、直線 OA の式は $y = \frac{5}{2}x$ である。

直線 BC の式を求める。点 B の座標は (8, 2)、点 C の座標は (0, 2) なので、直線は $y = 2$。

点 D は直線 OA と直線 BC の交点なので、

$\frac{5}{2}x = 2$

$x = \frac{4}{5}$

よって、$y = 2$。したがって、点 D の座標は $(\frac{4}{5}, 2)$ である。

(2) 三角形 ADB の面積を求める。点 A (2, 5), 点 D $(\frac{4}{5}, 2)$, 点 B (8, 2) である。

点 A から直線 $y=2$ への距離は $5-2=3$。

点 B と D は直線 $y=2$ 上にあるので、底辺 BD の長さは $8 - \frac{4}{5} = \frac{40 - 4}{5} = \frac{36}{5}$。

したがって、三角形 ADB の面積は $\frac{1}{2} \times \frac{36}{5} \times 3 = \frac{108}{10} = \frac{54}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{2}$

(2) 点 B の $y$ 座標: 2

(3)

(1) 点 D の座標: $(\frac{4}{5}, 2)$

(2) 三角形 ADB の面積: $\frac{54}{5}$