問題は、正方形ABCDの辺BC上に点Eをとり、線分BDとAEの交点をFとし、点CとFを結んだ図形に関するものです。具体的には、以下の3つの問いに答えます。 (1) $\triangle ABF \equiv \triangle CBF$ であることを証明する過程の空欄を埋めます。 (2) $\angle FAB = 35^\circ$ のときの $\angle DFC$ の大きさを求めます。 (3) $AB = 4cm$, $EC = 1cm$, $AE = 5cm$, $CF = \frac{20}{7} cm$ とするときの、線分EFの長さと$\triangle FEC$の面積を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は、正方形ABCDの辺BC上に点Eをとり、線分BDとAEの交点をFとし、点CとFを結んだ図形に関するものです。具体的には、以下の3つの問いに答えます。

(1) $\triangle ABF \equiv \triangle CBF$ であることを証明する過程の空欄を埋めます。

(2) $\angle FAB = 35^\circ$ のときの $\angle DFC$ の大きさを求めます。

(3) $AB = 4cm$, $EC = 1cm$, $AE = 5cm$, $CF = \frac{20}{7} cm$ とするときの、線分EFの長さと$\triangle FEC$の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABF \equiv \triangle CBF$ の証明

* $\angle ABF = \angle CBF$ (なぜなら、BDは正方形の対角線であり、$\angle ABC$ を二等分するから) よって、アにはCBFが入ります。

* (i), (ii), (iii) より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABF \equiv \triangle CBF$ が成り立ちます。よって、イには2組の辺とその間の角が入ります。

(2) $\angle DFC$ の大きさ

* $\angle ABF = 45^\circ$ （正方形の対角線は角を二等分するため）

* $\angle AFB = 180^\circ - \angle FAB - \angle ABF = 180^\circ - 35^\circ - 45^\circ = 100^\circ$

* $\angle CFB = \angle AFB = 100^\circ$ （$\triangle ABF \equiv \triangle CBF$ より）

* $\angle BCF = 180^\circ - \angle CFB - \angle CBF = 180^\circ - 100^\circ - 45^\circ = 35^\circ$

* $\angle DCF = 90^\circ - \angle BCF = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$

* $\angle CDF = 45^\circ$ (正方形の対角線)

* $\angle DFC = 180^\circ - \angle DCF - \angle CDF = 180^\circ - 55^\circ - 45^\circ = 80^\circ$

(3) 線分EFの長さと$\triangle FEC$の面積

* $BC = AB = 4cm$ なので、$BE = BC - EC = 4 - 1 = 3cm$

* $\triangle ABE$ に対して三平方の定理が成り立つことを確認します。

$AB^2 + BE^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = AE^2 = 5^2$.

1. 線分EFの長さ

$\triangle ABE$と$\triangle CFE$において、

$\angle ABE=\angle BCE = 90^\circ$, $\angle BAE = \alpha$ とすると、$\angle BEA = 90^\circ - \alpha$.

また、$\angle CEF = 180^\circ - \angle BEA = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ + \alpha$.

ここで、$\triangle ABE$と$\triangle FEC$が相似であると仮定すると、対応する辺の比は等しく、$AB/FE = BE/EC = AE/FC$となるはずです。しかし、BE/EC = 3/1 = 3 であり、AE/FC = 5/(20/7) = 7/4なので、$\triangle ABE$と$\triangle FEC$は相似ではありません。

メネラウスの定理を$\triangle BCE$と直線ADに適用することを考えます。しかし、ADと$\triangle BCE$は交わらないのでこの方法は使えません。

ここでは、方べきの定理を用いることにします。点Eから円を描き、線分AEとECを通る円を描き、この円とAEとの交点をGとすると、$EG \cdot EA = EF \cdot EC$が成り立ちます。$EA = 5, EC = 1$であることは分かっていますが、$EG$の値が分からず、この円も描けないので、方べきの定理を使うことは難しいです。

$\triangle ABE$において、$AB = 4, BE = 3, AE = 5$

$\triangle FEC$において、$EC = 1, CF = \frac{20}{7}$.

余弦定理を$\triangle FEC$に適用すると、$EF^2 = EC^2 + CF^2 - 2 \cdot EC \cdot CF \cdot \cos{90^\circ} = 1^2 + (\frac{20}{7})^2 = 1 + \frac{400}{49} = \frac{449}{49}$

よって、$EF = \sqrt{\frac{449}{49}} = \frac{\sqrt{449}}{7}$ cm

2. $\triangle FEC$の面積

$\triangle FEC$ は直角三角形なので、面積は $\frac{1}{2} \cdot EC \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{20}{7} = \frac{10}{7} cm^2$

3. 最終的な答え

(1) ア: CBF, イ: 2組の辺とその間の角

(2) $\angle DFC = 80^\circ$

(3) ① $EF = \frac{\sqrt{449}}{7} cm$, ② $\triangle FEC = \frac{10}{7} cm^2$