平行四辺形OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺OCを2:1に内分する点をEとする。線分DEを1:3に内分する点をP、直線OPと直線ABの交点をFとする。 (1) $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OF}$を$\vec{a}$、$\vec{c}$を用いて表す。 (2) 四角形OAFEの面積は平行四辺形OABCの面積の何倍であるか。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺OCを2:1に内分する点をEとする。線分DEを1:3に内分する点をP、直線OPと直線ABの交点をFとする。

(1) $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OF}$を$\vec{a}$、$\vec{c}$を用いて表す。

(2) 四角形OAFEの面積は平行四辺形OABCの面積の何倍であるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点D、E、Pの位置ベクトルを$\vec{a}$、$\vec{c}$を用いて表す。

点Dは辺OAの中点なので、

$\vec{OD} = \frac{1}{2} \vec{a}$

点Eは辺OCを2:1に内分するので、

$\vec{OE} = \frac{2}{3} \vec{c}$

点Pは線分DEを1:3に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{3 \vec{OD} + \vec{OE}}{1+3} = \frac{3 (\frac{1}{2} \vec{a}) + \frac{2}{3} \vec{c}}{4} = \frac{\frac{3}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{c}}{4} = \frac{3}{8} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{c}$

次に、点Fが直線OP上にあることから、実数kを用いて

$\vec{OF} = k \vec{OP} = k (\frac{3}{8} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{c}) = \frac{3k}{8} \vec{a} + \frac{k}{6} \vec{c}$

と表せる。

また、点Fは直線AB上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OF} = \vec{OA} + t \vec{AB} = \vec{OA} + t (\vec{OB} - \vec{OA}) = \vec{a} + t(\vec{a} + \vec{c} - \vec{a}) = \vec{a} + t \vec{c}$

と表せる。

したがって、

$\frac{3k}{8} \vec{a} + \frac{k}{6} \vec{c} = \vec{a} + t \vec{c}$

$\vec{a}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{3k}{8} = 1$

$\frac{k}{6} = t$

よって、$k = \frac{8}{3}$、 $t = \frac{k}{6} = \frac{8}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{9}$

$\vec{OF} = \vec{a} + t \vec{c} = \vec{a} + \frac{4}{9} \vec{c}$

(2)

平行四辺形OABCの面積をSとする。

四角形OAFEの面積は、三角形OAFと三角形OFEの面積の和である。

三角形OAFの面積は、

$\frac{OF}{OB} = \frac{|\vec{OF}|}{|\vec{OB}|} = \frac{OF}{AB}$

より、$\vec{AB} = \vec{c}$, $\vec{OC} = \vec{BC} = \vec{c}$, $\vec{OA} = \vec{a}$

面積比より,$\frac{\text{三角形OAFの面積}}{\text{三角形OABの面積}} = t = \frac{4}{9}$

三角形OABの面積は$\frac{1}{2}S$なので、

三角形OAFの面積 = $\frac{4}{9} \times \frac{1}{2} S = \frac{2}{9} S$

三角形OFEの面積は、

$\frac{\text{三角形OFEの面積}}{\text{三角形OCEの面積}} = \frac{AF}{AC} = \frac{OF-OA}{AC} = \frac{\frac{4}{9} \vec{c}}{\vec{a}+\vec{c}}$

点EはOCを2:1に内分しているので三角形OCE = 2/3 三角形OCC、三角形OCC = 1/2 Sなので, 1/3 S

三角形OFEの面積 = $\frac{1}{3} S \times \frac{4}{9} = \frac{4}{27}S$

四角形OAFEの面積 = 三角形OAFの面積 + 三角形OFEの面積 = $\frac{2}{9}S + \frac{4}{27}S = \frac{6}{27}S + \frac{4}{27}S = \frac{10}{27}S$

したがって、四角形OAFEの面積は平行四辺形OABCの面積の$\frac{10}{27}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OF} = \vec{a} + \frac{4}{9} \vec{c}$

(2) $\frac{10}{27}$倍