$\sqrt{40} + \sqrt{50} + \sqrt{90}$ を $a\sqrt{b} + c\sqrt{d}$ の形に変形しなさい。ここで、$a, b, c, d$ は整数で、$b, d$ はできるだけ小さくする必要があります。

1. 問題の内容

$\sqrt{40} + \sqrt{50} + \sqrt{90}$ を $a\sqrt{b} + c\sqrt{d}$ の形に変形しなさい。ここで、$a, b, c, d$ は整数で、$b, d$ はできるだけ小さくする必要があります。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を素因数分解します。

$\sqrt{40} = \sqrt{2^3 \cdot 5} = \sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 5} = 2\sqrt{10}$

$\sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 5^2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{90} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{10}$

したがって、

$\sqrt{40} + \sqrt{50} + \sqrt{90} = 2\sqrt{10} + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{10}$

$= (2\sqrt{10} + 3\sqrt{10}) + 5\sqrt{2}$

$= 5\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$