$\frac{\sqrt{2}+1}{5-3\sqrt{6}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2}+1}{5-3\sqrt{6}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、$5-3\sqrt{6}$ の共役な複素数である $5+3\sqrt{6}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+1}{5-3\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2}+1)(5+3\sqrt{6})}{(5-3\sqrt{6})(5+3\sqrt{6})}$

分母を展開します。

$(5-3\sqrt{6})(5+3\sqrt{6}) = 5^2 - (3\sqrt{6})^2 = 25 - 9 \times 6 = 25 - 54 = -29$

分子を展開します。

$(\sqrt{2}+1)(5+3\sqrt{6}) = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{12} + 5 + 3\sqrt{6} = 5\sqrt{2} + 3 \times 2\sqrt{3} + 5 + 3\sqrt{6} = 5\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 5 + 3\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2}+1)(5+3\sqrt{6})}{(5-3\sqrt{6})(5+3\sqrt{6})} = \frac{5\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 5 + 3\sqrt{6}}{-29} = -\frac{5+5\sqrt{2}+6\sqrt{3}+3\sqrt{6}}{29}$

3. 最終的な答え

$-\frac{5+5\sqrt{2}+6\sqrt{3}+3\sqrt{6}}{29}$