与えられたハッセ図で表される集合 $S = \{a, b, c, d, e, f, g, h, i\}$ 上の順序関係について、以下の問いに答えます。 (1) $S$ の極大元と極小元を求めます。 (2) 集合 $A = \{b, f, g\}$ に関する上界と下界を求めます。 (3) 集合 $B = \{c, e, f\}$ に関する上限と下限を求めます。

1. 問題の内容

与えられたハッセ図で表される集合 $S = \{a, b, c, d, e, f, g, h, i\}$ 上の順序関係について、以下の問いに答えます。

(1) $S$ の極大元と極小元を求めます。

(2) 集合 $A = \{b, f, g\}$ に関する上界と下界を求めます。

(3) 集合 $B = \{c, e, f\}$ に関する上限と下限を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 極大元は、それより大きい要素がない要素です。ハッセ図では、一番上に位置する要素が極大元です。極小元は、それより小さい要素がない要素です。ハッセ図では、一番下に位置する要素が極小元です。

(2) 集合 $A = \{b, f, g\}$ の上界は、$A$ のすべての要素以上であるような $S$ の要素です。下界は、$A$ のすべての要素以下であるような $S$ の要素です。

(3) 集合 $B = \{c, e, f\}$ の上限は、上界全体の集合の最小元です。下限は、下界全体の集合の最大元です。

(1) 極大元: $h, i$

極小元: $a$

(2) 集合 $A = \{b, f, g\}$ に関する上界: $h, i$

集合 $A = \{b, f, g\}$ に関する下界: $a$

(3) 集合 $B = \{c, e, f\}$ に関する上限: $g$

集合 $B = \{c, e, f\}$ に関する下限: $d$

3. 最終的な答え

(1) 極大元: $h, i$, 極小元: $a$

(2) 上界: $h, i$, 下界: $a$

(3) 上限: $g$, 下限: $d$