ド・モルガンの法則を用いて、等式 $(A \cup B)^C = \bar{A} \cap \bar{B}$ を証明せよ。 そして、$(A \cup B)^C = (\bar{A} \cap \bar{B})^C = (A \cap B) \cup C$と書かれています。 これは誤りなので、$(A \cup B)^C = \bar{A} \cap \bar{B}$を示します。

1. 問題の内容

ド・モルガンの法則を用いて、等式 $(A \cup B)^C = \bar{A} \cap \bar{B}$ を証明せよ。

そして、$(A \cup B)^C = (\bar{A} \cap \bar{B})^C = (A \cap B) \cup C$と書かれています。

これは誤りなので、$(A \cup B)^C = \bar{A} \cap \bar{B}$を示します。

2. 解き方の手順

ド・モルガンの法則とは、

$(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$

$(A \cap B)^C = A^C \cup B^C$

です。

ここで、$A^C$ は $A$ の補集合 $\bar{A}$ と同じ意味です。

つまり、$A^C = \bar{A}$ です。

$(A \cup B)^C = \bar{A} \cap \bar{B}$

の証明：

まず、左辺 $(A \cup B)^C$ は、$A \cup B$ に含まれない要素の集合です。これは、$A$ に含まれない要素であり、かつ $B$ に含まれない要素であることと同じです。

$A$ に含まれない要素は $\bar{A}$ に含まれ、$B$ に含まれない要素は $\bar{B}$ に含まれます。

したがって、$(A \cup B)^C$ は $\bar{A}$ に含まれ、かつ $\bar{B}$ に含まれる要素の集合、つまり $\bar{A} \cap \bar{B}$ となります。

よって、

$(A \cup B)^C = \bar{A} \cap \bar{B}$

が証明されました。

3. 最終的な答え

$(A \cup B)^C = \bar{A} \cap \bar{B}$