ド・モルガンの法則を用いて、集合に関する等式 $\overline{(A \cup B)} \cap \overline{C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}$ を証明せよ。

1. 問題の内容

ド・モルガンの法則を用いて、集合に関する等式 $\overline{(A \cup B)} \cap \overline{C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

ド・モルガンの法則 $\overline{(A \cup B)} = \overline{A} \cap \overline{B}$ を用いて、左辺を変形していく。

まず、左辺の $\overline{(A \cup B)}$ にド・モルガンの法則を適用すると、以下のようになる。

$\overline{(A \cup B)} \cap \overline{C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cap \overline{C}$

ここで、結合法則により、括弧を外すことができる。

$(\overline{A} \cap \overline{B}) \cap \overline{C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

次に、再度、結合法則を利用して、括弧を付ける位置を変える。

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}$

3. 最終的な答え

$\overline{(A \cup B)} \cap \overline{C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cap \overline{C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}$

したがって、 $\overline{(A \cup B)} \cap \overline{C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}$ が証明された。