この問題は、写像に関する定理とその証明の穴埋め問題です。具体的には、(1)定理の仮定部分にある3つの空欄を埋め、(2)与えられた定理の証明の未完成部分を完成させる必要があります。

1. 問題の内容

この問題は、写像に関する定理とその証明の穴埋め問題です。具体的には、(1)定理の仮定部分にある3つの空欄を埋め、(2)与えられた定理の証明の未完成部分を完成させる必要があります。

2. 解き方の手順

(1) の穴埋め

* 1つ目の空欄: 写像 $f: S \rightarrow T$ が何射であるべきかを考えます。$g_1 \circ f = g_2 \circ f$ から $g_1 = g_2$ を導くためには、$f$ は単射である必要があります。なぜなら、単射であれば、$f(s_1)=f(s_2)$ ならば $s_1=s_2$ が言え、合成写像の結果が等しいことから、元の写像が等しいことが導けるからです。

* 2つ目の空欄: 証明の最初に「任意の $\alpha \in$ 」とあるので、$\alpha$ が属する集合を書きます。写像 $f$ の定義域は $S$ なので、$\alpha$ は $S$ の要素である必要があります。

* 3つ目の空欄: 証明すべきことは、$g_1 = g_2$ を示すことです。任意の $\alpha \in S$ に対して、$g_1(\alpha) = g_2(\alpha)$ を示す必要があるため、$g_1(f(\alpha)) = g_2(f(\alpha))$ を証明する必要があります。

(2) 証明の穴埋め

定理の仮定より、$g_1 \circ f = g_2 \circ f$ が成り立つので、任意の $\alpha \in S$ に対して、$g_1(f(\alpha)) = g_2(f(\alpha))$ が成り立ちます。

$f(\alpha)$ は $T$ の要素なので、$t = f(\alpha)$ とおくと、$g_1(t) = g_2(t)$ が任意の $t \in T$ に対して成り立つことになります。したがって、$g_1 = g_2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1)

* 1つ目の空欄: 単

* 2つ目の空欄: $S$

* 3つ目の空欄: $g_1(f(\alpha)) = g_2(f(\alpha))$

(2) 証明の続き：

任意の $\alpha \in S$ をとる。

$t = f(\alpha)$ とおくと、$t \in T$ である。

仮定より、$g_1(f(\alpha)) = g_2(f(\alpha))$ が成り立つので、$g_1(t) = g_2(t)$ が成り立つ。

これは任意の $t \in T$ に対して成り立つので、$g_1 = g_2$ が成り立つ。

（証明終）