集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 4\}$ と集合 $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A \cap B}$ (2) $\overline{A \cup B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 4\}$ と集合 $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A \cap B}$

(2) $\overline{A \cup B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A \cap B}$ を求めます。まず、$A \cap B$ を求めます。

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 4\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x < 0 \text{ または } 3 < x \le 4\}$

したがって、$\overline{A \cap B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \le x \le 3 \text{ または } x > 4\}$

(2) $\overline{A \cup B}$ を求めます。まず、$A \cup B$ を求めます。

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 4\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$

$A \cup B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 4 \text{ または } x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 6\}$

したがって、$\overline{A \cup B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 6\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$

$\overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 3 \text{ または } x \ge 6\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } x > 4\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 3 \text{ または } x \ge 6\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 6\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$

$\overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 3 \text{ または } x \ge 6\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } x > 4 \text{ または } 0 \le x \le 3 \text{ または } x \ge 6\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \le x \le 3 \text{ または } x > 4\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A \cap B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \le x \le 3 \text{ または } x > 4\}$

(2) $\overline{A \cup B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 6\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 6\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \le x \le 3 \text{ または } x > 4\}$