与えられた図のような道のある地域で、A地点からB地点まで最短経路で移動する方法について、以下の問いに答えます。 (1) AからCまでの最短経路は何通りあるか。 (2) CからBまでの最短経路は何通りあるか。 (3) AからCを経由してBまでの最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

与えられた図のような道のある地域で、A地点からB地点まで最短経路で移動する方法について、以下の問いに答えます。

(1) AからCまでの最短経路は何通りあるか。

(2) CからBまでの最短経路は何通りあるか。

(3) AからCを経由してBまでの最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからCまでの最短経路

AからCへ行くには、右に1回、上に2回移動する必要があります。したがって、合計3回の移動のうち、右への移動が1回含まれる組み合わせの数を求めます。これは、3回の移動のうち1回を右への移動に割り当てる組み合わせの数と同じなので、組み合わせの公式を用いて計算できます。

$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$

(2) CからBまでの最短経路

CからBへ行くには、右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、合計4回の移動のうち、右への移動が2回含まれる組み合わせの数を求めます。これは、4回の移動のうち2回を右への移動に割り当てる組み合わせの数と同じなので、組み合わせの公式を用いて計算できます。

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

(3) AからCを経由してBまでの最短経路

AからCまでの最短経路数は3通り、CからBまでの最短経路数は6通りです。AからCを通ってBまで行く経路数は、それぞれの経路数の積で求められます。

経路数 = (AからCの経路数) × (CからBの経路数) = 3 × 6 = 18

3. 最終的な答え

(1) AからCまで行く経路は3通り。

(2) CからBまで行く経路は6通り。

(3) AからCを通ってBまで行く経路は18通り。