9人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を計算する問題です。 具体的には、 - 4人と5人の2つの組に分ける方法 - 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法 - 3人ずつA,B,Cの3組に分ける方法 - 3人ずつ3組に分ける方法 の4つの場合について、それぞれの場合の数を求める必要があります。

1. 問題の内容

9人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を計算する問題です。

具体的には、

- 4人と5人の2つの組に分ける方法

- 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法

- 3人ずつA,B,Cの3組に分ける方法

- 3人ずつ3組に分ける方法

の4つの場合について、それぞれの場合の数を求める必要があります。

2. 解き方の手順

- 4人と5人の組に分ける場合:

9人から4人を選ぶ組み合わせを計算すれば、残りの5人は自動的に決まります。これは組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算します。

- 4人と3人と2人の組に分ける場合:

まず9人から4人を選び、次に残った5人から3人を選び、最後に残った2人から2人を選びます。これらの組み合わせの積を計算します。

- 3人ずつA,B,Cの3組に分ける場合:

まず9人から3人を選びA組とし、残りの6人から3人を選びB組とし、最後に残った3人から3人を選びC組とします。これらの組み合わせの積を計算します。

- 3人ずつ3組に分ける場合:

上記の「3人ずつA,B,Cの3組に分ける場合」の計算結果から、A,B,Cの組の並び順は区別しないので、3!で割ります。

3. 最終的な答え

- 4人と5人の組に分ける場合:

$9C4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

- 4人と3人と2人の組に分ける場合:

$9C4 \times 5C3 \times 2C2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$ 通り。

- 3人ずつA,B,Cの3組に分ける場合:

$9C3 \times 6C3 \times 3C3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = 84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り。

- 3人ずつ3組に分ける場合:

$\frac{9C3 \times 6C3 \times 3C3}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り。

したがって、

- アイウ = 126

- エオカキ = 1260

- クケコサ = 1680

- シスセ = 280