右の図の6つの領域を4色すべてを使って塗り分ける場合の数を求める問題です。ただし、隣り合う領域は異なる色で塗る必要があります。同じ色を何回使ってもよいという条件があります。

1. 問題の内容

右の図の6つの領域を4色すべてを使って塗り分ける場合の数を求める問題です。ただし、隣り合う領域は異なる色で塗る必要があります。同じ色を何回使ってもよいという条件があります。

2. 解き方の手順

まず、領域を塗り分ける順番を考えます。領域3と4が接している領域が多いので、領域1,2,5,6から塗るのが良さそうです。

領域1を最初に塗ることを考えます。

1. 領域1の塗り方: 4色から1色選ぶので、4通り。

2. 領域2の塗り方: 領域1と異なる色を選ぶので、3通り。

3. 領域5の塗り方: 領域1と異なる色を選ぶので、3通り。

4. 領域6の塗り方: 領域2と領域5と異なる色を選ぶ必要があるので場合分けを行います。

(a) 領域2と領域5の色が同じ場合: 領域6は3通り。

(b) 領域2と領域5の色が異なる場合: 領域6は2通り。

5. 領域3と4の塗り方：領域6が塗られた後、領域3と4を塗ることを考えます。領域3と4も隣り合っているので異なる色で塗る必要があります。

$4 \times 3 \times 3 \times$(領域6の塗り方) $\times$ (領域3と4の塗り方)を計算することになります。

まずは領域2と領域5が同じ色の場合を考えます。

領域1は4通り、領域2は3通り、領域5は1通り（領域2と同じ色）、領域6は3通り、領域3は領域1,2と異なる色なので2通り、領域4は領域3と異なる色なので1通り。

$4 \times 3 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1 = 72$通り

次に領域2と領域5が異なる色の場合を考えます。

領域1は4通り、領域2は3通り、領域5は2通り（領域1と領域2と異なる）、領域6は2通り、領域3は領域1,2,5と異なる色なので1通り、領域4は領域3と異なる色なので1通り。

$4 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 48$通り。

領域1,2,5,6の順で塗る場合の数を出すために、領域1を塗る4通りの場合を考慮します。したがって、領域1を最初に塗る場合、領域1を塗る4通りの各々について計算が必要なので、領域2と領域5の色の組み合わせを考慮すると、

(a) 領域2と領域5が同じ色のとき、領域1は4通り、領域2は3通り、領域5は1通りなので、領域6は3通り塗れます。領域3は領域1と領域2と異なる色を使うので2通り、領域4は領域3と異なるので1通り。$4 \times 3 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1 = 72$通りです。

(b) 領域2と領域5が異なる色のとき、領域1は4通り、領域2は3通り、領域5は2通り、領域6は2通り塗れます。領域3は領域1、領域2、領域5と異なる色を使うので1通り、領域4は領域3と異なるので1通りです。$4 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 48$通りです。

これらの場合を合計すると、$72+48 = 120$通りとなります。

領域3と4の塗り方の場合分けによって、領域1,2,5,6の塗り方が確定されるわけではないため、この考え方は誤りです。

正しい解き方:

4色をA, B, C, Dとします。

まず、中央の三角形3と4を塗ります。

領域3の塗り方は4通り。領域4の塗り方は3通り（領域3と異なる色）。

領域1は領域3,4と隣り合っているので、領域1を塗る際に場合分けが必要です。

(a) 領域1が領域3,4のどちらとも異なる色の場合、領域1は2通り。

(b) 領域1が領域3,4のどちらかの色の場合、領域1は1通り。

考え方を変えて、領域1から塗ることにします。

領域1は4通り。

領域2は3通り。

領域5は3通り。

領域6は2または3通り。

領域3と4は隣り合っていて、かつ領域1,2,5,6とも隣り合っています。

総当たりで数え上げるのは難しいです。

領域３と４の塗り方を固定して数える。

領域３は４通り。領域４は３通り。

領域１は領域３と隣り合っているので３通り。

領域２は領域３と隣り合っているので３通り。

領域５は領域３,４と隣り合っているので２通り。

領域６は領域４と隣り合っているので３通り。

領域1,2,5,6で4色全てが使われている必要があります。

3. 最終的な答え

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