摩擦のない斜面で質点を滑らせた場合と、回転しながら斜面を下る場合を比較し、並進運動のエネルギーの減少分が回転運動のエネルギーとなっていることを確認する問題です。

1. 問題の内容

摩擦のない斜面で質点を滑らせた場合と、回転しながら斜面を下る場合を比較し、並進運動のエネルギーの減少分が回転運動のエネルギーとなっていることを確認する問題です。

2. 解き方の手順

* 質点が滑る場合、位置エネルギー$mgh$は運動エネルギー$\frac{1}{2}mv^2$に変換されるので、$v = \sqrt{2gh}$となります。

* 滑らずに回転しながら斜面を下る場合と比較すると、並進運動のエネルギーは滑る場合よりも$\frac{2}{7}mgh$小さくなります。

* 回転運動のエネルギーは$\frac{1}{2}I\omega^2$で表されます。慣性モーメント$I = \frac{2}{5}mr^2$と$\omega^2 = \frac{10gh}{7r^2}$を代入すると、回転運動のエネルギーは$\frac{2}{7}mgh$となります。

$\frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5}mr^2 \times \frac{10gh}{7r^2} = \frac{2}{7}mgh$

3. 最終的な答え

並進運動のエネルギーの減少分は$\frac{2}{7}mgh$であり、これは回転運動のエネルギー$\frac{2}{7}mgh$と等しいので、題意は確認できました。