化合物 A, B, C の分解反応が、それぞれ 2 次反応、1 次反応、0 次反応に従って進行している。初濃度が 10 mg/mL のとき、半減期はいずれも 4 時間である。初濃度を 20 mg/mL に変えたときの、A, B, C の半減期を求めよ。

1. 問題の内容

化合物 A, B, C の分解反応が、それぞれ 2 次反応、1 次反応、0 次反応に従って進行している。初濃度が 10 mg/mL のとき、半減期はいずれも 4 時間である。初濃度を 20 mg/mL に変えたときの、A, B, C の半減期を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各反応における半減期の式を確認します。

- 0 次反応: $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$ ([A]_0: 初濃度, k: 速度定数)

- 1 次反応: $t_{1/2} = \frac{ln2}{k}$

- 2 次反応: $t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$

次に、初濃度が 10 mg/mL のときの情報を利用して、速度定数 k を求めます。ただし、1 次反応は k を直接求めなくても解けます。

- 化合物 A (2 次反応):

$4 = \frac{1}{k \times 10}$

$k = \frac{1}{40}$

初濃度が 20 mg/mL のとき:

$t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0} = \frac{1}{(\frac{1}{40}) \times 20} = \frac{40}{20} = 2$

- 化合物 B (1 次反応):

1 次反応の半減期は初濃度に依存しないため、半減期は変化しません。

$t_{1/2} = 4$

- 化合物 C (0 次反応):

$4 = \frac{10}{2k}$

$k = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

初濃度が 20 mg/mL のとき:

$t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k} = \frac{20}{2 \times \frac{5}{4}} = \frac{20}{\frac{5}{2}} = 20 \times \frac{2}{5} = 8$

3. 最終的な答え

- 化合物 A の半減期: 2 時間

- 化合物 B の半減期: 4 時間

- 化合物 C の半減期: 8 時間