町役場では、駅Aから観光地Bまでの3600mのまっすぐな路線に、自動運転の車P, Qの運行計画を立てた。車P, Qは以下のルールに従って同じ路線を走る。車Pが最初に駅Aを出発してからの経過時間を$x$分、車P, Qから駅Aまでの距離を$y$ mとしたとき、$x$と$y$の関係がグラフで示されている。 (1) 車Pについて、 1. 車Pの走行中の速さは分速何mか。 2. 車Pが2回目に駅Aを出発するときの、$x$の値を求めよ。 (2) 車Qが駅Aから観光地Bに向かうとき、$y$を$x$で表せ。ただし、変域は求めなくてよい。 (3) 車Pと車Qが1回目にすれ違うときの、$y$の値を求めよ。

1. 問題の内容

町役場では、駅Aから観光地Bまでの3600mのまっすぐな路線に、自動運転の車P, Qの運行計画を立てた。車P, Qは以下のルールに従って同じ路線を走る。車Pが最初に駅Aを出発してからの経過時間を$x$分、車P, Qから駅Aまでの距離を$y$ mとしたとき、$x$と$y$の関係がグラフで示されている。

(1) 車Pについて、

1. 車Pの走行中の速さは分速何mか。

2. 車Pが2回目に駅Aを出発するときの、$x$の値を求めよ。

(2) 車Qが駅Aから観光地Bに向かうとき、$y$を$x$で表せ。ただし、変域は求めなくてよい。

(3) 車Pと車Qが1回目にすれ違うときの、$y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1. 車Pは駅Aを出発して10分で観光地Bに到着するので、車Pの速さは、

$\frac{3600}{10} = 360$ (m/分)

2. 車Pは、駅Aを出発して10分で観光地Bに着き、1分間停車する。その後、駅Aに戻るまでに10分かかるので、1回目に駅Aを出発してから、2回目に駅Aを出発するまでの時間は、$10 + 1 + 10 = 21$ 分である。したがって、車Pが2回目に駅Aを出発するときの$x$の値は21である。

(2)

車Qは、車Pが駅Aを最初に出発してから10分後に駅Aを出発する。車Qが観光地Bに到着するまでの時間はグラフから12分なので、車Qの速さは、

$\frac{3600}{12} = 300$ (m/分)

したがって、$y = 300(x - 10)$。整理すると、$y = 300x - 3000$。

(3)

車Pと車Qが1回目にすれ違うのは、車Qが駅Aを出発して観光地Bに向かう時である。このとき、車Pは観光地Bから駅Aに戻る途中である。車Pが観光地Bを出発したのは、$x = 11$のときである。車Pの駅Aからの距離$y$は、

$y = -360(x-11) + 3600$

$y = -360x + 3960 + 3600$

$y = -360x + 7560$

車Qの駅Aからの距離$y$は、$y = 300x - 3000$

2つの式を連立して解く。

$-360x + 7560 = 300x - 3000$

$660x = 10560$

$x = 16$

これを$y = 300x - 3000$に代入すると、

$y = 300 \times 16 - 3000 = 4800 - 3000 = 1800$

3. 最終的な答え

(1)

1. 分速360m

2. $x = 21$

(2)

$y = 300x - 3000$

(3)

$y = 1800$