関数 $y = \frac{x-3}{(x+1)(x-2)}$ の増減を調べ、極値を求め、グラフを描け。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-3}{(x+1)(x-2)}$ の増減を調べ、極値を求め、グラフを描け。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分し、増減表を作成します。

1. 関数の定義域を確認する。

2. 導関数を計算する。

3. 導関数が0になる点を見つける。

4. 増減表を作成する。

5. 極値を求める。

6. グラフを描く。

まず、定義域を確認します。分母が0にならないように、$x \neq -1, 2$ です。

次に、導関数を計算します。$y = \frac{x-3}{(x+1)(x-2)} = \frac{x-3}{x^2 - x - 2}$ なので、商の微分公式を使って、

$y' = \frac{(1)(x^2 - x - 2) - (x-3)(2x - 1)}{(x^2 - x - 2)^2}$

$y' = \frac{x^2 - x - 2 - (2x^2 - 7x + 3)}{(x^2 - x - 2)^2}$

$y' = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(x^2 - x - 2)^2}$

$y' = \frac{-(x^2 - 6x + 5)}{(x^2 - x - 2)^2}$

$y' = \frac{-(x-1)(x-5)}{(x+1)^2(x-2)^2}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。分子が0になれば良いので、$(x-1)(x-5) = 0$ より、$x = 1, 5$ です。

増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 | ... | 5 | ... |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| y' | - | - | - | + | + | + | + | - | - |

| y | 減少 | 定義されない | 減少 | 極小 | 増加 | 定義されない | 増加 | 極大 | 減少 |

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1-3}{(1+1)(1-2)} = \frac{-2}{(2)(-1)} = 1$。極小値は1です。

$x = 5$ のとき、$y = \frac{5-3}{(5+1)(5-2)} = \frac{2}{(6)(3)} = \frac{1}{9}$。極大値は1/9です。

最後にグラフを描きます。

x軸との交点は、$y = 0$ となる $x$ なので、$x = 3$ です。

y軸との交点は、$x = 0$ のとき、$y = \frac{0-3}{(0+1)(0-2)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

極小値: $x=1$ のとき $y=1$

極大値: $x=5$ のとき $y=\frac{1}{9}$

グラフは増減表と求めた極値、x軸との交点、y軸との交点、漸近線（$x=-1, x=2$）を考慮して描画します。