関数 $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を指数を使って書き換えます。

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、

$f(x) = \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$

次に、べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いて微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2} - 1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

最後に、$x^{-\frac{5}{2}}$ を分数の形に戻します。

$x^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^2\sqrt{x}}$

よって、$f'(x) = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$