与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \pm \infty} (1 + \frac{k}{x})^{mx}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \pm \infty} (1 + \frac{k}{x})^{mx}$

2. 解き方の手順

まず、指数関数の形に変形します。

$\lim_{x \to \pm \infty} (1 + \frac{k}{x})^{mx} = \lim_{x \to \pm \infty} e^{\ln((1 + \frac{k}{x})^{mx})}$

次に、指数の中の $\ln$ を計算します。

$\lim_{x \to \pm \infty} e^{mx \ln(1 + \frac{k}{x})}$

ここで、$\frac{k}{x} = t$ と置くと、$x \to \pm \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} e^{\frac{mk}{t} \ln(1 + t)}$

$\lim_{t \to 0} e^{mk \frac{\ln(1 + t)}{t}}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$ なので、

$\lim_{t \to 0} e^{mk \cdot 1} = e^{mk}$

3. 最終的な答え

$e^{mk}$