与えられた二つの級数について、絶対収束、条件収束、発散のいずれであるかを判定する問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n^4+1}-n^2)\sin n$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n+1}{n^2+1}$

1. 問題の内容

与えられた二つの級数について、絶対収束、条件収束、発散のいずれであるかを判定する問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n^4+1}-n^2)\sin n$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n+1}{n^2+1}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt{n^4+1}-n^2$ を簡略化します。

$\sqrt{n^4+1}-n^2 = \frac{(\sqrt{n^4+1}-n^2)(\sqrt{n^4+1}+n^2)}{\sqrt{n^4+1}+n^2} = \frac{n^4+1-n^4}{\sqrt{n^4+1}+n^2} = \frac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2}$

したがって、与えられた級数は $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{\sqrt{n^4+1}+n^2}$ と書き換えられます。

ここで、$a_n = \frac{\sin n}{\sqrt{n^4+1}+n^2}$ とおきます。

絶対値を取ると $|a_n| = \frac{|\sin n|}{\sqrt{n^4+1}+n^2} \leq \frac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2}$

さらに、$\frac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2} < \frac{1}{n^2+n^2} = \frac{1}{2n^2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は収束するので（p-級数、p=2>1）、比較判定法より $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ も収束します。

したがって、与えられた級数は絶対収束します。

(2)

与えられた級数は交代級数なので、ライプニッツの判定法を適用することを考えます。

$a_n = \frac{n+1}{n^2+1}$ とおくと、$f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \frac{(x^2+1)-(x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$

$-x^2-2x+1 = 0$ を解くと $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{-2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$x > -1+\sqrt{2}$ のとき、$f'(x) < 0$ となるので、$a_n$ は単調減少します。

また、$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2+1} = 0$ なので、ライプニッツの判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n+1}{n^2+1}$ は収束します。

次に、$\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{n+1}{n^2+1}| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^2+1}$ が収束するかどうかを調べます。

$\frac{n+1}{n^2+1} \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散するので、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^2+1}$ も発散します（比較判定法）。

したがって、与えられた級数は条件収束します。

3. 最終的な答え

(1) 絶対収束

(2) 条件収束