$a, b, c$ は定数で、$a > 0$, $b \geq 0$ とする。関数 $f(\theta) = \sin(a\theta + b) + c$ について、グラフに関するいくつかの問いに答える。 (1) $c = 0$ とする。$y = f(\theta)$ のグラフが図1のようになるとき、$a$, $b$, $d$の値を求める。 (2) $y = f(\theta)$ のグラフが図2のようになるとき、$a$, $c$ を求め、さらにグラフの平行移動に関する問いに答える。

1. 問題の内容

$a, b, c$ は定数で、$a > 0$, $b \geq 0$ とする。関数 $f(\theta) = \sin(a\theta + b) + c$ について、グラフに関するいくつかの問いに答える。

(1) $c = 0$ とする。$y = f(\theta)$ のグラフが図1のようになるとき、$a$, $b$, $d$の値を求める。

(2) $y = f(\theta)$ のグラフが図2のようになるとき、$a$, $c$ を求め、さらにグラフの平行移動に関する問いに答える。

2. 解き方の手順

(1)

* 図1より、周期は $\frac{5}{6}\pi - (-\frac{\pi}{6}) = \pi$ である。よって、$a\theta$ の周期は $\frac{2\pi}{a} = \pi$ となるため、$a = 2$ (ア) である。

* $y = \sin(2\theta + b)$ のグラフが $\theta = -\frac{\pi}{6}$ で最大値1をとることから、$2(-\frac{\pi}{6}) + b = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数) を満たす。

したがって、$-\frac{\pi}{3} + b = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ より $b = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ となる。$b \geq 0$ で最小の $b$ は $b = \frac{5\pi}{6}$ (イ、選択肢(3)) である。

* $f(\theta) = -\sin(-a\theta + d) = \sin(a\theta - d)$ である。$f(\theta) = \sin(2\theta + \frac{5\pi}{6})$ より、$a\theta - d = 2\theta + \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$ は整数)を満たす。

したがって、$-d = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$, $d = -\frac{5\pi}{6} - 2n\pi$ となる。$d \geq 0$ より、$d$ の最小値は $d = \frac{7\pi}{6}$ (選択肢(4)) である。

* $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ (ウ、選択肢(2)) であるから、$d = \frac{7\pi}{6}$ (エ、選択肢(4))である。

(2)

* 図2より、周期は $\pi$ である。よって、$a\theta$ の周期は $\frac{2\pi}{a} = \pi$ となるため、$a = 2$ (オ) である。

* 図2より、$y$ 軸方向に1だけ平行移動しているので、$c = 1$ (カ) である。

* $f(\theta) = \sin(2\theta + b) + 1$ のグラフが $\theta = 0$ で $y = 1$ となるから、$\sin(b) + 1 = 1$ より $\sin(b) = 0$ である。

$0 \leq b < 2\pi$ を満たす $b$ は、$b = 0, \pi$ の2個 (キ) である。その中で最小のものは $b = 0$ (ク、選択肢(0)) である。

* $y = \cos(2\theta)$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $-\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動すると $y = \cos(2(\theta + \frac{\pi}{2})) = \cos(2\theta + \pi) = -\cos(2\theta)$ となり、$y$ 軸方向に1だけ平行移動しても図2のグラフにはならない。

* $y = \cos(2\theta)$ のグラフを$\theta$ 軸方向に$\theta = 0$で最大値を取るようにずらすと考えると、$y = \sin(2\theta) + 1$とできる。したがって$\cos(2(\theta-\frac{\pi}{4}))+1 = \sin(2\theta) + 1$と変換することで、$-\frac{\pi}{4}$ (ケ、選択肢(0)) だけ平行移動、y軸方向に１(カ)だけ平行移動したグラフと重なる。

* $y = \cos(2\theta)$を$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動すると、$\cos(2(\theta-\frac{\pi}{4})) = \cos(2\theta-\frac{\pi}{2}) = \sin(2\theta)$となる。

従って$y = \sin(2\theta) + 1$ = $\sin(2\theta)$ + 1(コ) と重なるので、$y = 1 + \sin(2\theta)$ となる。よって(サ)は選択肢にないため、誤りである。

もし修正するのであれば、(サ)は選択肢を増やす必要があり、$y=1+ \sin(2\theta)$などと重なる、といった記述になるはずである。

3. 最終的な答え

(1)

* ア: 2

* イ: $\frac{5\pi}{6}$ (選択肢(3))

* ウ: $-\sin\theta$ (選択肢(2))

* エ: $\frac{7\pi}{6}$ (選択肢(4))

(2)

* オ: 2

* カ: 1

* キ: 2

* ク: $\frac{\pi}{4}$ (選択肢(0))

* ケ: $\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$ (選択肢(0))だけ平行移動

* コ:　１

* サ: 選択肢に無し。