問題83の(1),(2),(3)の分数関数の漸近線の方程式を求める問題です。 (1) $y = \frac{x-1}{x}$ (2) $y = \frac{x-2}{x-3}$ (3) $y = \frac{3x-2}{x+1}$

1. 問題の内容

問題83の(1),(2),(3)の分数関数の漸近線の方程式を求める問題です。

(1) $y = \frac{x-1}{x}$

(2) $y = \frac{x-2}{x-3}$

(3) $y = \frac{3x-2}{x+1}$

2. 解き方の手順

分数関数の漸近線は、以下の手順で求めます。

(1) $y = \frac{x-1}{x}$ の場合

まず、$y = \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$ と変形します。

$x$ が限りなく大きくなる、または小さくなる（$\pm\infty$に近づく）とき、$y$ は 1 に近づきます。

また、$x = 0$ のとき、$y$ は定義されないので、x = 0が垂直漸近線となります。

水平漸近線は$y=1$、垂直漸近線は$x=0$です。

(2) $y = \frac{x-2}{x-3}$ の場合

分子と分母を割り算します。$x-2 = (x-3) + 1$となるので、 $y = \frac{x-2}{x-3} = \frac{(x-3) + 1}{x-3} = 1 + \frac{1}{x-3}$ と変形できます。

$x$ が限りなく大きくなる、または小さくなる（$\pm\infty$に近づく）とき、$y$ は 1 に近づきます。

また、$x = 3$ のとき、$y$ は定義されないので、$x = 3$ が垂直漸近線となります。

水平漸近線は$y=1$、垂直漸近線は$x=3$です。

(3) $y = \frac{3x-2}{x+1}$ の場合

分子と分母を割り算します。$3x - 2 = 3(x+1) - 5$となるので、$y = \frac{3x-2}{x+1} = \frac{3(x+1) - 5}{x+1} = 3 - \frac{5}{x+1}$ と変形できます。

$x$ が限りなく大きくなる、または小さくなる（$\pm\infty$に近づく）とき、$y$ は 3 に近づきます。

また、$x = -1$ のとき、$y$ は定義されないので、$x = -1$ が垂直漸近線となります。

水平漸近線は$y=3$、垂直漸近線は$x=-1$です。

3. 最終的な答え

(1) 水平漸近線: $y = 1$, 垂直漸近線: $x = 0$

(2) 水平漸近線: $y = 1$, 垂直漸近線: $x = 3$

(3) 水平漸近線: $y = 3$, 垂直漸近線: $x = -1$