$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2x - 2\sqrt{3} \sin x + 1$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2x - 2\sqrt{3} \sin x + 1$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\sin x$ の関数として表します。$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、

$$y = 1 - 2\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 1 = -2\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 2$$

$t = \sin x$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$$y = -2t^2 - 2\sqrt{3}t + 2 = -2\left(t^2 + \sqrt{3}t\right) + 2 = -2\left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{3}{4}\right) + 2 = -2\left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{7}{2}$$

$y$ は $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ で最大値 $\frac{7}{2}$ をとります。

$t = \sin x$ なので、$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は、

$x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

次に、$y$ の最小値を求めます。$t$ の範囲は $-1 \le t \le 1$ です。

$y = -2(t + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{7}{2}$ は上に凸の放物線なので、$t$ が $-1$ または $1$ の時に最小値をとります。

$t = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 - 2\sqrt{3}(1) + 2 = -2\sqrt{3}$

$t = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 - 2\sqrt{3}(-1) + 2 = -2 + 2\sqrt{3} + 2 = 2\sqrt{3}$

$t=1$ の時、$x = \frac{\pi}{2}$　　$y=-2\sqrt{3}$

したがって、$t = 1$ のとき $y = -2\sqrt{3}$ となり、これが最小値です。$\sin x = 1$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{7}{2}$ ($x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値：$-2\sqrt{3}$ ($x = \frac{\pi}{2}$ のとき)