関数 $y = \sqrt{x-1} + 2$ の逆関数を求め、さらにその逆関数の定義域と値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x-1} + 2$ の逆関数を求め、さらにその逆関数の定義域と値域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 元の関数の定義域と値域を求める。

まず、$y = \sqrt{x-1} + 2$ の定義域を求める。根号の中身は0以上である必要があるため、$x-1 \geq 0$、つまり $x \geq 1$。したがって、元の関数の定義域は $x \geq 1$ である。

次に、元の関数の値域を求める。$\sqrt{x-1}$ は0以上の値をとるので、$\sqrt{x-1} \geq 0$。したがって、$y = \sqrt{x-1} + 2 \geq 2$。つまり、元の関数の値域は $y \geq 2$ である。

(2) 逆関数を求める。

$y = \sqrt{x-1} + 2$ を $x$ について解く。

$y - 2 = \sqrt{x-1}$

両辺を2乗すると、

$(y - 2)^2 = x - 1$

$x = (y - 2)^2 + 1$

ここで、$x$ と $y$ を入れ替えて逆関数を得る。

$y = (x - 2)^2 + 1$

(3) 逆関数の定義域と値域を求める。

逆関数の定義域は、元の関数の値域である。したがって、逆関数の定義域は $x \geq 2$ である。

逆関数の値域は、元の関数の定義域である。したがって、逆関数の値域は $y \geq 1$ である。

しかし、$y = (x - 2)^2 + 1$ で $x \geq 2$ の範囲で考えれば、$y \geq 1$ となる。

3. 最終的な答え

逆関数: $y = (x - 2)^2 + 1$

定義域: $x \geq 2$

値域: $y \geq 1$