与えられた無限級数の和を求めます。級数は $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求めます。級数は $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ です。

2. 解き方の手順

これは初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比数列の無限和です。等比数列の無限和は、 $|r| < 1$ の場合に収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ で与えられます。

この問題では、初項 $a = (\frac{1}{3})^{1-1} = (\frac{1}{3})^{0} = 1$ であり、公比 $r = \frac{1}{3}$ です。

$|r| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$ なので、この無限級数は収束します。

等比数列の無限和の公式に代入すると、

$$$$

\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}

$$$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$