曲線 $y = \cos x$ 上の $x = \frac{\pi}{2}$ に対応する点における接線を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos x$ 上の $x = \frac{\pi}{2}$ に対応する点における接線を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{\pi}{2}$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

したがって、接点を $(\frac{\pi}{2}, 0)$ となります。

次に、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -\sin x$

$x = \frac{\pi}{2}$ における導関数の値を求めます。これが接線の傾きになります。

$-\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

よって、接線の傾きは $-1$ です。

接線の式を $y = mx + b$ とおき、$m = -1$、接点 $(\frac{\pi}{2}, 0)$ を代入して $b$ を求めます。

$0 = -1 \cdot \frac{\pi}{2} + b$

$b = \frac{\pi}{2}$

したがって、接線の式は $y = -x + \frac{\pi}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = -x + \frac{\pi}{2}$