関数 $f(x) = 3^{x+2} - 9^x + 1$ の最大値を求め、最大値をとるときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3^{x+2} - 9^x + 1$ の最大値を求め、最大値をとるときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を変形します。

$f(x) = 3^{x+2} - 9^x + 1 = 3^2 \cdot 3^x - (3^x)^2 + 1 = 9 \cdot 3^x - (3^x)^2 + 1$

ここで、$t = 3^x$ とおくと、$t > 0$ であり、$f(x)$ は $t$ の関数として次のように表せます。

$g(t) = -t^2 + 9t + 1$

これは $t$ の二次関数なので、平方完成することで最大値を求められます。

$g(t) = -(t^2 - 9t) + 1 = -(t - \frac{9}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2 + 1 = -(t - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{4} + \frac{4}{4} = -(t - \frac{9}{2})^2 + \frac{85}{4}$

$g(t)$ は $t = \frac{9}{2}$ のとき最大値 $\frac{85}{4}$ をとります。

$t > 0$ という条件を満たしているので、$g(t)$ の最大値は $\frac{85}{4}$ です。

次に、最大値をとるときの $x$ の値を求めます。

$t = 3^x = \frac{9}{2}$ より、$3^x = \frac{9}{2} = \frac{3^2}{2}$

両辺の対数をとると、

$x \log 3 = \log \frac{9}{2} = \log 9 - \log 2 = 2 \log 3 - \log 2$

$x = \frac{2 \log 3 - \log 2}{\log 3} = 2 - \frac{\log 2}{\log 3} = 2 - \log_3 2$

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{85}{4}$ であり、最大値をとるときの $x$ の値は $2 - \log_3 2$ である。