問題は、指定された曲面の曲面積を求めるものです。 (1) 平面 $x + y + z = a$ (ただし、$a$ は正の数) について、$x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ の範囲にある部分の面積を求めます。 (2) 曲面 $z = x^2 + y^2$ について、$x^2 + y^2 = a^2$ (ただし、$a$ は正の数) の円柱面内部にある部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

問題は、指定された曲面の曲面積を求めるものです。

(1) 平面 $x + y + z = a$ (ただし、$a$ は正の数) について、$x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ の範囲にある部分の面積を求めます。

(2) 曲面 $z = x^2 + y^2$ について、$x^2 + y^2 = a^2$ (ただし、$a$ は正の数) の円柱面内部にある部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

平面の方程式 $x + y + z = a$ より、$z = a - x - y$ と表せます。曲面積を求める公式は、

$S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \, dx \, dy$

です。

ここで、$\frac{\partial z}{\partial x} = -1$, $\frac{\partial z}{\partial y} = -1$ なので、

$\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$

となります。

領域 $D$ は、$x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ の条件から、$x + y \leq a$ であり、$x \geq 0$, $y \geq 0$ です。したがって、$D$ は、$x, y$ 平面上の三角形の領域となります。

よって、曲面積は

$S = \iint_D \sqrt{3} \, dx \, dy = \sqrt{3} \iint_D dx \, dy$

$\iint_D dx \, dy$ は領域 $D$ の面積を表し、$D$ は $x + y \leq a$ ($x \geq 0$, $y \geq 0$) なので、三角形の面積は $\frac{1}{2} a^2$ となります。

したがって、$S = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2$ となります。

(2)

曲面の方程式は $z = x^2 + y^2$ です。曲面積を求める公式は、

$S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \, dx \, dy$

です。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$ なので、

$\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} = \sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2} = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} = \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)}$

領域 $D$ は、$x^2 + y^2 \leq a^2$ であり、円板です。

極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、領域 $D$ は $0 \leq r \leq a$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ となります。また、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ です。

したがって、曲面積は

$S = \iint_D \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^a \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr \, d\theta$

$u = 1 + 4r^2$ とすると、$du = 8r \, dr$, $r \, dr = \frac{1}{8} du$ となります。

$r = 0$ のとき $u = 1$, $r = a$ のとき $u = 1 + 4a^2$ です。

$S = \int_0^{2\pi} \int_1^{1+4a^2} \sqrt{u} \, \frac{1}{8} \, du \, d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{1+4a^2} \, d\theta$

$S = \frac{1}{12} \int_0^{2\pi} \left[ (1 + 4a^2)^{3/2} - 1 \right] \, d\theta = \frac{1}{12} \left[ (1 + 4a^2)^{3/2} - 1 \right] \int_0^{2\pi} d\theta$

$S = \frac{1}{12} \left[ (1 + 4a^2)^{3/2} - 1 \right] (2\pi) = \frac{\pi}{6} \left[ (1 + 4a^2)^{3/2} - 1 \right]$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{2} a^2$

(2) $\frac{\pi}{6} ((1 + 4a^2)^{3/2} - 1)$