関数 $y = \sqrt{2x^2 - 4x + 9}$ の $x=2$ における接線と法線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2x^2 - 4x + 9}$ の $x=2$ における接線と法線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x=2$ のときの $y$ の値を求める。

$y = \sqrt{2(2)^2 - 4(2) + 9} = \sqrt{8 - 8 + 9} = \sqrt{9} = 3$

したがって、接点および法線が通る点の座標は $(2, 3)$ である。

次に、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$y = (2x^2 - 4x + 9)^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(2x^2 - 4x + 9)^{-\frac{1}{2}} \cdot (4x - 4) = \frac{4x - 4}{2\sqrt{2x^2 - 4x + 9}} = \frac{2x - 2}{\sqrt{2x^2 - 4x + 9}}$

$x = 2$ における導関数の値を求める。

$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = \frac{2(2) - 2}{\sqrt{2(2)^2 - 4(2) + 9}} = \frac{4 - 2}{\sqrt{8 - 8 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

これは接線の傾きである。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表され、$x_1 = 2$, $y_1 = 3$, $m = \frac{2}{3}$ なので、

$y - 3 = \frac{2}{3}(x - 2)$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} + 3 = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$

法線の傾きは接線の傾きの逆数に $-1$ をかけたものであるから、$-\frac{3}{2}$ となる。

法線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表され、$x_1 = 2$, $y_1 = 3$, $m = -\frac{3}{2}$ なので、

$y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 2)$

$y = -\frac{3}{2}x + 3 + 3 = -\frac{3}{2}x + 6$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$

法線の方程式: $y = -\frac{3}{2}x + 6$