(1) $y = \cos x$ の曲線上の点 ($x = \frac{\pi}{2}$) における接線と法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

(1) $y = \cos x$ の曲線上の点 ($x = \frac{\pi}{2}$) における接線と法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、点 ($x = \frac{\pi}{2}$) における $y$ の値を求めます。

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

したがって、接点および法線が通過する点の座標は $(\frac{\pi}{2}, 0)$ です。

次に、$y = \cos x$ を微分して、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -\sin x$

$x = \frac{\pi}{2}$ における導関数の値を計算します。これは接線の傾きを表します。

$-\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

したがって、接線の傾きは -1 です。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標で、$m$ は接線の傾きです。

$y - 0 = -1(x - \frac{\pi}{2})$

$y = -x + \frac{\pi}{2}$

法線は接線に垂直な直線であるため、法線の傾きは接線の傾きの逆数の符号を反転させたものになります。

法線の傾き = $-\frac{1}{-1} = 1$

法線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標で、$m$ は法線の傾きです。

$y - 0 = 1(x - \frac{\pi}{2})$

$y = x - \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = -x + \frac{\pi}{2}$

法線の方程式: $y = x - \frac{\pi}{2}$