問題1は、定積分を用いて次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + 1^2} + \frac{2}{n^2 + 2^2} + \frac{3}{n^2 + 3^2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n^2} \right)$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left[ (\sqrt{1} + \sqrt{n})^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{n})^2 + \dots + (\sqrt{n} + \sqrt{n})^2 \right]$

1. 問題の内容

問題1は、定積分を用いて次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + 1^2} + \frac{2}{n^2 + 2^2} + \frac{3}{n^2 + 3^2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n^2} \right)$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left[ (\sqrt{1} + \sqrt{n})^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{n})^2 + \dots + (\sqrt{n} + \sqrt{n})^2 \right]$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式をシグマ記号で表すと、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k/n^2}{1 + (k/n)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2}$

これは定積分

$\int_0^1 \frac{x}{1 + x^2} dx$

に対応します。

$u = 1 + x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} du$

積分範囲は $x: 0 \to 1$ に対して $u: 1 \to 2$ となります。

よって、

$\int_0^1 \frac{x}{1 + x^2} dx = \int_1^2 \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} [\ln u]_1^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2$

(2)

与えられた式をシグマ記号で表すと、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (\sqrt{k} + \sqrt{n})^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (k + 2\sqrt{kn} + n)$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \sum_{k=1}^n k + 2\sqrt{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{k} + \sum_{k=1}^n n \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{n(n+1)}{2} + 2\sqrt{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{k} + n^2 \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{n^2}{2} + O(n) + 2\sqrt{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{k} + n^2 \right)$

ここで、$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} \approx \int_1^n \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^n = \frac{2}{3} (n^{3/2} - 1)$

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{n^2}{2} + 2\sqrt{n} \cdot \frac{2}{3} n^{3/2} + n^2 \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{n^2}{2} + \frac{4}{3} n^2 + n^2 \right)$

$= \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + 1 = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{6}{6} = \frac{17}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln 2$

(2) $\frac{17}{6}$