$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)-x\cos(x)}{1-\cos(x)}$ を漸近展開を用いて求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)-x\cos(x)}{1-\cos(x)}$ を漸近展開を用いて求める。

2. 解き方の手順

まず、$\log(1+x)$と$\cos(x)$を $x=0$ の周りでテイラー展開（マクローリン展開）する。

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\cos(x)$ のマクローリン展開は、

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

これらを用いると、

$x\cos(x) = x(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) = x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} - \dots$

$\log(1+x) - x\cos(x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) - (x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} - \dots) = - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^3}{6} + O(x^4)$

$1 - \cos(x) = 1 - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots$

したがって、

$\frac{\log(1+x)-x\cos(x)}{1-\cos(x)} = \frac{-\frac{x^2}{2} + \frac{5x^3}{6} + O(x^4)}{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots} = \frac{x^2(-\frac{1}{2} + \frac{5x}{6} + O(x^2))}{x^2(\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \dots)} = \frac{-\frac{1}{2} + \frac{5x}{6} + O(x^2)}{\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \dots}$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)-x\cos(x)}{1-\cos(x)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1$

3. 最終的な答え

-1