曲線 $y = \frac{1}{4}(x-2)^3$ と、$x$軸、および直線 $x=2$ と $x=4$ で囲まれた領域の面積を、リーマン積分を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{4}(x-2)^3$ と、$x$軸、および直線 $x=2$ と $x=4$ で囲まれた領域の面積を、リーマン積分を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

リーマン積分を用いて面積を求めるには、定積分を計算する必要があります。求める面積は、曲線 $y = \frac{1}{4}(x-2)^3$ を $x=2$ から $x=4$ まで積分することで得られます。

まず、積分を計算します。

$\int_{2}^{4} \frac{1}{4}(x-2)^3 dx$

ここで、$u = x-2$ と置換すると、$du = dx$ となり、積分の範囲は $x=2$ のとき $u=0$, $x=4$ のとき $u=2$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{1}{4}u^3 du = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} u^3 du$

$\int u^3 du = \frac{1}{4}u^4 + C$ なので、

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2} u^3 du = \frac{1}{4}[\frac{1}{4}u^4]_{0}^{2}$

$= \frac{1}{16}[u^4]_{0}^{2} = \frac{1}{16}(2^4 - 0^4)$

$= \frac{1}{16}(16) = 1$

3. 最終的な答え

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