画像にある以下の積分問題を解きます。 (7) $\int \sin^2(2x) \cos(2x) dx$ (8) $\int \sqrt{x} \log x dx$ (9) $\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{dx}{\sqrt{1-2x^2}}$ (10) $\int_{-1}^0 xe^x dx$ (11) $\int_0^2 x\sqrt{x^2+4} dx$ (12) $\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{3-x}}$

## 解答

1. 問題の内容

画像にある以下の積分問題を解きます。

(7) $\int \sin^2(2x) \cos(2x) dx$

(8) $\int \sqrt{x} \log x dx$

(9) $\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{dx}{\sqrt{1-2x^2}}$

(10) $\int_{-1}^0 xe^x dx$

(11) $\int_0^2 x\sqrt{x^2+4} dx$

(12) $\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{3-x}}$

2. 解き方の手順

(7) $\int \sin^2(2x) \cos(2x) dx$

* $t = \sin(2x)$ と置換すると $\frac{dt}{dx} = 2\cos(2x)$ より $dx = \frac{dt}{2\cos(2x)}$

* 積分は $\int \sin^2(2x) \cos(2x) dx = \int t^2 \cos(2x) \frac{dt}{2\cos(2x)} = \int \frac{1}{2} t^2 dt = \frac{1}{2} \int t^2 dt$

* $\frac{1}{2} \int t^2 dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + C = \frac{1}{6} t^3 + C$

* $t$ を元に戻すと $\frac{1}{6} \sin^3(2x) + C$

(8) $\int \sqrt{x} \log x dx$

* 部分積分 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$ を使う。

* $f(x) = \log x$、$g'(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ とする。

* $f'(x) = \frac{1}{x}$、$g(x) = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

* $\int \sqrt{x} \log x dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} dx$

* $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

* $\frac{2}{3} x\sqrt{x} \log x - \frac{4}{9} x\sqrt{x} + C$

(9) $\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{dx}{\sqrt{1-2x^2}}$

* $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$ を利用する。

* $\int \frac{1}{\sqrt{1-2x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{2}x)^2}} dx$

* $\sqrt{2}x = u$ と置換すると $\sqrt{2} dx = du$ より $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$

* $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin u + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin(\sqrt{2}x) + C$

* $\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{dx}{\sqrt{1-2x^2}} = [\frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin(\sqrt{2}x)]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin(1) - \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$

(10) $\int_{-1}^0 xe^x dx$

* 部分積分 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$ を使う。

* $f(x) = x$、$g'(x) = e^x$ とする。

* $f'(x) = 1$、$g(x) = e^x$

* $\int xe^x dx = xe^x - \int 1 \cdot e^x dx = xe^x - e^x + C$

* $\int_{-1}^0 xe^x dx = [xe^x - e^x]_{-1}^0 = (0 - e^0) - (-1e^{-1} - e^{-1}) = -1 + e^{-1} + e^{-1} = -1 + 2e^{-1} = \frac{2}{e}-1$

(11) $\int_0^2 x\sqrt{x^2+4} dx$

* $t = x^2 + 4$ と置換すると $\frac{dt}{dx} = 2x$ より $dx = \frac{dt}{2x}$

* 積分範囲: $x=0$のとき $t=4$, $x=2$のとき $t=8$

* $\int_0^2 x\sqrt{x^2+4} dx = \int_4^8 x\sqrt{t} \frac{dt}{2x} = \frac{1}{2} \int_4^8 \sqrt{t} dt = \frac{1}{2} \int_4^8 t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} [\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_4^8$

* $\frac{1}{2} [\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_4^8 = \frac{1}{3} [t^{\frac{3}{2}}]_4^8 = \frac{1}{3} (8^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{3} (8\sqrt{8} - 8) = \frac{1}{3} (16\sqrt{2} - 8) = \frac{8}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

(12) $\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{3-x}}$

* $3-x = t$ と置換すると $\frac{dt}{dx} = -1$ より $dx = -dt$

* 積分範囲: $x=0$のとき $t=3$, $x=3$のとき $t=0$

* $\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{3-x}} = \int_3^0 \frac{-dt}{\sqrt{t}} = - \int_3^0 t^{-\frac{1}{2}} dt = \int_0^3 t^{-\frac{1}{2}} dt = [2t^{\frac{1}{2}}]_0^3$

* $[2t^{\frac{1}{2}}]_0^3 = 2\sqrt{3} - 0 = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(7) $\frac{1}{6}\sin^3(2x) + C$

(8) $\frac{2}{3} x\sqrt{x} \log x - \frac{4}{9} x\sqrt{x} + C$

(9) $\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$

(10) $\frac{2}{e}-1$

(11) $\frac{8}{3}(2\sqrt{2} - 1)$

(12) $2\sqrt{3}$