与えられた6つの問題を解く。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x} - 1}$ (2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\pi - 4x}{\sqrt{2}\sin x - 1}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x}{\tan x}$ (4) $y = \sqrt[3]{x^2}$ の第3次導関数を求める (5) ライプニッツの公式を用いて $y = xe^{2x}$ の第3次導関数を求める (6) $\int \frac{(x-2)(x+1)}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの問題を解く。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x} - 1}$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\pi - 4x}{\sqrt{2}\sin x - 1}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x}{\tan x}$

(4) $y = \sqrt[3]{x^2}$ の第3次導関数を求める

(5) ライプニッツの公式を用いて $y = xe^{2x}$ の第3次導関数を求める

(6) $\int \frac{(x-2)(x+1)}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x} - 1}$

分子と分母が $x \to 1$ で 0 に近づくので、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1)'}{(\sqrt{x} - 1)'} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}} = \lim_{x \to 1} 4x^{\frac{3}{2}} = 4$

(2)

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\pi - 4x}{\sqrt{2}\sin x - 1}$

分子と分母が $x \to \frac{\pi}{4}$ で 0 に近づくので、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\pi - 4x)'}{(\sqrt{2}\sin x - 1)'} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-4}{\sqrt{2}\cos x} = \frac{-4}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = -4$

(3)

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x}{\tan x}$

分子と分母が $x \to 0$ で 0 に近づくので、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x} - \cos x)'}{(\tan x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + \sin x}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} (2e^{2x} + \sin x)\cos^2 x = (2 \cdot 1 + 0) \cdot 1 = 2$

(4)

$y = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

$y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

$y'' = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{9}x^{-\frac{4}{3}}$

$y''' = -\frac{2}{9} \cdot (-\frac{4}{3})x^{-\frac{7}{3}} = \frac{8}{27}x^{-\frac{7}{3}} = \frac{8}{27x^2 \sqrt[3]{x}}$

(5)

$y = xe^{2x}$

ライプニッツの公式: $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_nC_k u^{(k)} v^{(n-k)}$

$u = x$, $v = e^{2x}$

$u' = 1$, $u'' = 0$, $u''' = 0$

$v' = 2e^{2x}$, $v'' = 4e^{2x}$, $v''' = 8e^{2x}$

$y''' = {}_3C_0 x''' e^{2x} + {}_3C_1 x'' (e^{2x})' + {}_3C_2 x' (e^{2x})'' + {}_3C_3 x (e^{2x})''' = 0 + 0 + 3(1)(4e^{2x}) + 1(x)(8e^{2x}) = 12e^{2x} + 8xe^{2x} = (8x + 12)e^{2x} = 4(2x+3)e^{2x}$

(6)

$\int \frac{(x-2)(x+1)}{x} dx = \int \frac{x^2 - x - 2}{x} dx = \int (x - 1 - \frac{2}{x}) dx = \frac{x^2}{2} - x - 2\ln|x| + C$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) -4

(3) 2

(4) $y''' = \frac{8}{27x^2 \sqrt[3]{x}}$

(5) $4(2x+3)e^{2x}$

(6) $\frac{x^2}{2} - x - 2\ln|x| + C$