広義積分 $\int_{0}^{2} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{2} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

広義積分であることに注意して、積分を実行します。

まず、$x = 2\sin\theta$ と置換します。

すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

また、$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$ となります。

積分範囲も変更します。

$x=0$ のとき、$\sin\theta = 0$ なので $\theta = 0$ となります。

$x=2$ のとき、$\sin\theta = 1$ なので $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2\sin\theta)^2}{2\cos\theta} (2\cos\theta) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin^2\theta d\theta$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いて変形します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin^2\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cdot \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2(1-\cos(2\theta)) d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2(1-\cos(2\theta)) d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos(2\theta)) d\theta = 2[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 2[(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0))] = 2[\frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0] = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$